1 6 GUIDO CASTELNUOYO 



Il teorema sia vero per le involuzioni ad r— 1 dimensioni; 

 la curva sostegno sia la C""^' normale ellittica. Ad un punto A' 

 della curva è coniugata nella JJ-''^ una t7/ razionale , i cui 



^ (h 1) 



gruppi, insieme con A', determinano spazi S„_-i passanti per un 

 S'„_r\ questo sega C""^* in A' e in un secondo punto B' [3]. 



Così a un nuovo punto A" di C"'"^* corrisponderà un S"„_^^ 

 secante la curva in A" e in un secondo punto B\ I gruppi della 

 J„_y~^^ coniugata alla coppia A', A", determinano con questa 

 coppia spazi >S'„_, passanti per uno stesso S„_^_^_^ , il quale con- 

 tiene S'„_^, S"„_^. Dunque gli oo^ /S„_^ relativi ai punti A di 

 C""*"* giacciono a due a due in un >S'„_^^i, e quindi o giacciono tutti 

 in uno stesso S„_^^i^ o passano tutti per uno stesso S„_^_i . 

 Il primo caso contraddice le restrizioni fatte. Nel secondo caso 

 in ogni S„_^ passante per S„_^_i si trova un gruppo di J„^''\ 

 e reciprocamente; perciò la Jj''^ è razionale, e S„_^_i sega 

 0''''''in un punto [3]. La dimostrazione qui data vale anche per 

 r =2 , perchè le J„_/'^ coniugate ai punti della curva non pos- 

 sono essere ellittiche in virtù delle restrizioni fatte (1). 



Alcune serie non involutorie. 



16, Ci proponiamo di cercare una varietà ad n dimensioni 

 contenuta in uno spazio lineare, i cui punti rappresentino uni- 

 vocamente i gruppi di n punti di una curva ellittica. 



Per n = 2 la questione è già risoluta ; una osservazione del 

 signor Segre (2) permette di affermare che le coppie di punti di 

 una curva ellittica si possono rappresentare sui imnii di una ri- 

 gata ellittica riferita univocamente alla curva. I raggi della ri- 

 gata rappresentano le oo^ /,,'') razionali sulla curva C. E se la ri- 

 gata è d'ordine dispari 2 /i; + 1, appartenente a ^S'^y^, della specie 

 più generale (queste rigate indicheremo nel seguito con r,"*"^'), cia- 

 scuna delle oc} curve minime d'ordine A + 1 rappresenta un punto 

 di C (o meglio quelle coppie che contengono quel punto). 



(1) Come conseguenza dei paragrafi precedenti e in particolare della nota al 

 n" 10, diamo qui il seguente teorema: Le curve ellittiche semplici di una ri- 

 gata ellittica che segano n volte i raggi della rigata, possono dividersi in Y(«) 

 famiglie; due curve di una stessa famiglia possono riferirsi univocamente. 



(2) Ricerche stelle rigate ellittiche, n° 19 (Atti dell'Acc. delle Se. di Torino, 

 V. XXI). 



