GEOMETRIA SULLE CURVE ELLITTICHE 15 



Sia «j il punto in cui lo spazio S„_, osculatore in a^ sega 

 di nuovo C" (il tangenziale di a^). Allora il prodotto 



K' «J K' s] ••• K' «"] [«1' «i] = [«i^ «2] ' bx^ «il 



dà la identità. Perciò se n è dispari , c/.^ coincide con a^ , e 

 se n e pari [a^ , a^J-^ident. 



Dunque: 



Per n dispari ciascuno degli n spasi uniti di una collinea- 

 zione ciclica d'ordine n che muti C° in se stessa, sega C° in n 

 punti di iperosculazione. 



Per n |)ar/ ogni punto di C° giacente in uno spazio unito ed 

 il punto tangenziale danno una coppia di una Jg sulla curva. 



In una J„ sopra la C" normale si trovano n gruppi situati 

 in spazi /S'„_, ; quindi : Gli spazi S„_^ contenenti i gruppi di una 

 J^ sopra la C""^* ellittica normale formano un fascio ellittico 

 d'ordine n-\-\. 



14. Fra le involuzioni ellittiche composte noteremo quella 

 ^„2 d'ordine n~ , i cui gruppi sono costituiti dai punti n . upli 

 delle oc' 7„^"~^' giacenti sopra la curva ellittica. Se questa è la 

 C"^^ normale di S„ , ogni gruppo di H,i è dato dai punti di con- 

 tatto degli spazi ^S'„_, osculatori condotti per un punto della curva. 



I gruppi della H„2 si possono riferire univocamente ai 

 punti della curva; ogni gruppo è costituito da n gruppi di 

 ciascuna delle J^ giacenti sulla curva ; questi n gruppi ap- 

 partengono ad una stessa Ij'"~^^ razionale. 



Ogni corrispondenza univoca sulla curva muta la H^^ in se 

 stessa. 



Ogni trasformazione collineare della C'^^ normale ellittica 

 in se stessa trasforma ciascun gruppo della H^2 in se stesso 

 (proprietà caratteristica). 



15. Studiate le involuzioni ad una dimensione , dovremmo 

 occuparci delle involuzioni non razionali a più dimensioni. Il se- 

 guente teorema ce ne dispensa. 



Per le involuzioni d'ordine n ad r dimensioni Jj''^ qui con- 

 siderate, ammetteremo che i gruppi di n — i punti che con i 

 (<)•) punti fissi della curva danno gruppi di Jj^''\ formino una 

 J„_i^''~'^ {coniugata ai punti fissi), e che due involuzioni con- 

 iugate a due gruppi indipendenti di i punti, siano distinte. Con 

 queste restrizioni vale il teorema: 



Una involuzione d'ordine n ad r dimensioni sopra una curva 

 ellittica è razionale, quando n > r > 1 . 



