14 GUIDO CASTELNUOVO 



è primitiva o per 1' ordine n, o per un divisore di n. E reci- 

 procamente ogni trasformazione primitiva il cui ordine sia n, o 

 un divisore di m, muta un punto di iperosculazione in un altro 

 punto di iperosculazione. E poiché i punti di iperosculazione sono 

 n^ — 1 oltre ad i^ , si ha : 



dove la somma si estende a tutti i divisori è di n , n incluso. 

 Di qui e dal paragrafo precedente, sia direttamente, sia appro- 

 fittando di una osservazione di Dirichlet (1) , si deduce subito 



^(„)=„^(i_^)(i_^)(i_i,)..., 



e quindi: 



^(„)=„(i+±) (1+1)^1 + 1)... 



numero totale delle involuzioni semplici, distinte J„, che si tro- 

 vano sopra una curva ellittica. 



13. Sopra una C" ellittica normale si trovi una J„ , e sia 

 E una trasformazione primitiva di questa J„. Per la E ad n 

 punti «p òj . . . /j di C" situati in uno spazio >S'„_2 corrispon- 

 dono Il punti «Q, ò., . .. /, , di un nuovo /S'„_2 , perchè il prodotto 

 delle corrispondenze \a^ , a,] , [b^ , b^\ . . .[l^, /,] è Tidentità [7]. 



Quindi [5] la corrispondenza E determina in S„_i una col- 

 lineazione, che muta ogni punto della curva nel suo corrispon- 

 dente. 



Ogni involuzione ellittica d'ordine n sopra una curva ellit- 

 tica normale di Sn_i determina in questo spazio oj {n) collineazioni 

 cicliche d'ordine n, ciascuna delle quali trasforma in se stesso 

 ogni gruppo delV involuzione. 



Una curva ellittica normale di >§'„_, è trasformata in se stessa 

 da ^{n) collineazioni cicliche d'ordine n di S„__^ (2). 



Siano «j , «g . . . a„ ì punti di C" che si trovano in uno spazio 

 unito della collineazione ; essi devono formare un gruppo di J„. 



(1) Dirichlet, Teoria dei numeri, appendice VII. 



(2) Una collineazione che trasformi C" in se stessa è ciclica secondo un di- 

 visore di n (n incluso), oppure è una delle vfi involuzioni relative a corrispon- 

 denze di 1* specie. (Su queste vedi Segre. Sur les transformations des courbes 

 elUptiques). 



