GEOMETRIA SULLE CURVE ELLITTICHE 13 



quindi fra i gruppi di una J„ sopra una curva ellittica normale 

 di S„_, , n sono costituiti dai punti di iperosculazione della curva. 

 Le considerazioni che ci condussero agli ultimi teoremi, danno 

 anche il seguente: Se sopra una curva normale ellittica C" {n 

 dispari) si trova una /„, lo spazio S„_^ osculatore a C" in un 

 punto di un gruppo e lo spazio passante per i rimanenti n — 1 punti 

 del gruppo , incontrano ulteriormente C" in uno stesso punto. 



11, Quante diverse involuzioni ellittiche d'ordine n si tro- 

 vano sopra una curva ellittica? 



Sia anzitutto n un numero primo; allora ogni corrispon- 

 denza determinata da due punti di un gruppo di J„ è primi- 

 tiva ; e due gruppi di punti di due diverse J„ non possono avere 

 due punti comuni. 



La curva sostegno sia la C" "^ ' ellittica normale di S^ . Poi- 

 ché due punti a^ , a.^ appartengono ad un gruppo di una J„ 

 solo quando gli spazi 8„_^ osculatori a C""^' in a^ , a, incontrano 

 ulteriormente la curva in uno stesso punto, segue che dato a^ 

 si possono determinare n~ — 1 punti a^ tali , che la potenza 

 nJ"" di [ttj , a„] sia la identità. Queste n^— 1 corrispondenze ap- 

 partengono a w + 1 gruppi di n — 1 corrispondenze, ponendo in 

 un gruppo due corrispondenze, una delle quali sia potenza del- 

 l'altra; ciascun gruppo dà una determinata involuzione J„. Quindi: 



Se n è un mimerò primo, sopra una curva ellittica si tro- 

 vano n+\ involuzioni ellittiche d'ordine n (1). 



12. Se n non è primo, siano a, |3, y . . . i divisori primi 

 di n, ed indichi <p (n) quanti fra i numeri minori di 7i sono primi 

 con n. Un gruppo di una J„ si trasforma in se stesso per © (w) 

 corrispondenze di 2* specie, primitive. Sicché se 'l {n) è il numero 



0(w) 



delle diverse trasformazioni primitive d'ordine n, ^' (n) = —- — è il 



cp(w) 



numero delle diverse J„. 



Per calcolare '>// (w) notiamcf che se i^ , i sono due punti di 



iperosculazione della C ellittica normale, la trasformazione [/^, i] 



dine n, ellittica, il cui sostegno è J,,. Da ciò il teorema: Se due curve ellit- 

 tiche C, C' sono così riferite che ad ogni punto di C corrispondano n punti di C", 

 ma ad ogni punto di C" un solo punto di C, allora le due curve si pos.^'ono anche 

 riferire in guisa che ad ogni punto di C" corrispondano n punti di C, ma ad 

 ogni punto di G un solo punto di C". 



(1) Clebsch-Lindemann, Vorlesungen iiber Geometrie, pag. 616. 



