12 GUIDO CASTELNUOVO 



porta in &,, diremo f/, e h^ punti omologhi dei due gruppi (nella 

 corrispondenza [«i,^]])- 



La corrispondenza [«i,^,] muta il gruppo G in se stesso; 

 quindi se cerchiamo il corrispondente a^ di a.,, il corrispondente 

 a^ di «3 , e cosi via, dopo un certo numero di operazioni si deve 

 giungere ad un punto coincidente con a^. Ora se dato a^, si può 

 determinare nel gruppo un punto a., tale, che la corrispondenza 

 [«p a.,] applicata n volte conduca da a^ una volta sola a cia- 

 scun punto del gruppo, e finalmente ad «p diremo che il gruppo 

 G è semxìlice e che [«j , a,] ^ ^'^^ trasformazione primitiva 

 (d'ordine n) ; in caso contrario G sarà un gruppo composto. 



Ogni corrispondenza (di 2* specie) che trasformi un gruppo 

 di J„ in se stesso, trasforma ogni gruppo di J„ in se stesso. 

 Perchè applicare la trasformazione [n^ , «,] a G' vuol dire appli- 

 care a G prima [a^ , òj e poi [a^ , a.,] , o, ciò che fa lo stesso, 

 prima [a^ , a^] e poi [a^ , òj. Segue che se un gruppo di J„ è 

 semplice, tutti i gruppi di J„ sono semplici, e la involuzione 

 potrà dirsi semplice. Quando non si dichiari il contrario, inten- 

 deremo che J„ sia una involuzione semplice. 



10. Siano («j «2 . . . rt„) , {b^b., . . . b„) , . . . (I^ l^ . . . l„) n 

 gruppi di J„ e a,- , òj . . . /,• siano elementi omologhi. Di più sia 

 [«j, <7.,] una trasformazione primitiva; la, potenza n."*" ài [a^,a^] 

 sarà la identità. 



Ora poiché il prodotto delle n corrispondenze [a^, a^], [&p&2]"" 

 [/j , /g] (tutte eguali ad [a^, a,]) è la identità, segue [7] che 1 

 gruppi di punti {a^b^ . . . /j), {a^b^ . . . /J, e similmente («g&g • • . ^g) 

 ... ia„b„. . . ì„) appartengono ad una stessa Ij"""'^ razionale. 



Se sopra una curva ellittica normale di S„ si trovano n 

 gruppi di una stessa J„ (aj a, . . . a^), (bj b^, . . . b^) ... (1^12... !„), 

 ed a , bj . . . Ij sono elementi omologhi di questi gruppi, gli 

 spazi (ajbj . . . Ij), (a^bg . . . I2) , . . . (a^b^. . . !„) incontrano ul- 

 teriormente la curva in uno stesso punto. 



In particolare (se \a^ , &J ■=z\a^, c^= . . . \a^ , ?J = ident.) , 



Gli spazi S3_j osculatori alla curva ellittica normale di S^ 

 nei punti di un gruppo di una J^ incontrano ulteriormente la 

 curva in uno stesso punto. 



Gli n^ spazi /S'„_, osculatori alla curva passanti per uno dei 

 suoi punti, danno coi loro punti di contatto n gruppi di «/„ (1); 



(1) Ad ogni punto della curva ellittica corrispondono adunque n elementi (gruppi) 

 di J), ; e questi gruppi di n elementi di /„ formano una serie involutoria d'or- 



