GEOMETRIA SULLE CURVE ELLITTICHE 11 



Involuzioni ellittiche. 



8. Sopra una curva generale del terzo ordine sia data una 

 involuzione J„ di ordine n, semplicemente infinita. Proiettandone 

 i gruppi da un punto 8 della curva, si ottiene un sistema di 

 oo^ gruppi di n raggi; ed ogni gruppo di J,^ determina un gruppo 

 del fascio S. 



Ora possono presentarsi due casi. esiste un punto S , dal 

 quale due qualisivogliauo gruppi distinti di </„ sono proiettati 

 mediante gruppi distinti di raggi, oppure, qualunque sia il punto 

 S sulla curva, i raggi che proiettano un gruppo di J„ incon- 

 trano di nuovo la curva in un secondo gruppo di J„. Nel primo 

 caso gli oo^ gruppi del fascio S formano una serie razionale (per- 

 chè d'indice 2), alla quale è riferita univocamente Tinvoluzione 

 J„. Nel secondo caso gli elementi (gruppi) di J„ si possono ac- 

 coppiare in oo^ involuzioni quadratiche razionali, ciascuna deter- 

 minata da un centro S di proiezione; e due involuzioni qua- 

 dratiche, relative a due punti S, S' (non appartenenti a uno 

 stesso gruppo di J„) , non hanno coppie comuni; quindi la J„ per 

 definizione [1, nota] è ellittica. 



Sopra una curva ellittica le involuzioni semplicemente in- 

 finite sono razionali, o ellittiche; nel secondo caso la involu- 

 zione è trasformata in se stessa da ogni corrispondenza uni- 

 voca di P e (quindi) di 2^ specie. Nel seguito J„ indicherà 

 una involuzione ellittica semplicemente infinita d'ordine n (1). 



9. Per l'ultimo teorema se G = {a^ a^. . . a„) , G' ^= (6, &.,... 

 6„) sono due gruppi di una J„, la corrispondenza [o^^, &J muta 

 ogni punto di G in un punto di G' ; se ad es. il punto «^ si 



della identità. Allora l'ultimo teorema si traduce nel noto teorema di Abel : 

 La somma dei parametri dei punti di ciascun gruppo di una In^''~'^ razio- 

 nale sopra una curva ellittica è [congrua ad) una costante (congrua a zero 

 per una particolare scelta dell'origine). Nel seguito si vedrà come le considera- 

 zioni sintetiche dell'ultimo paragrafo conducano colla medesima semplicità a pro- 

 posizioni, che comunemente si dimostrano ricorrendo alla notazione parametrica 

 e alle funzioni ellittiche. 



(1) Delle involuzioni ellittiche parlano brevemente il Kupper ed il Weyr 

 nei lavori citati ; le involuzioni sono implicitamente contenute nei poligoni di 



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