10 GUIDO CASTELNUOVO 



si ha poi 



[a, h] [h, a] = identità = 1 (definizione). 



Se a, b ed a', b' sono due coppie di una \^^^ razionale il 

 prodotto delle due corrispondenze [a, a'] , [b, b] è la identità. 



7. Se due spazi Sn_, di S„ segano la curva ellittica nor- 

 male 0°"^* nei gruppi (aj , a, . . . a„^_i) , (a^', 2i^ . . . a'„+i) , il 

 prodotto delle corrispondenze [a^, a'J, [a, , a'^] . . . [a^^.!, a'^^J 

 è Videntità. 



Infatti lo spazio {a^ a,-, . . . a„_i a'„_^i) incontri ancora C„_^_^ 

 in iz„ ; se il teorema vale per una curva ellittica normale d'or- 

 dine n (la proiezione di C"'^^ da a'„+i in un S„_i) , si ha 



[aj , «/] [«2 , «' J . . . [a„_, , a'„_i] [«„ , a'„] = 1 ; 

 e d'altra parte per il lemma precedente 



[o« , «J [«,.+1 , a'n+i] = 1 • 

 Moltiplicando le due identità, poiché 



[«„, rt'J [a„, a"J = [«„, «'„] , 

 si ottiene 



[a^, a\] [«2, «,'] . . . [a„+i, a'„+i]= 1 . 



Ora partendo dal lemma precedente si può dimostrare con 

 analogo procedimento che il teorema vale per w = 2 ; quindi è 

 vero qualunque sia l'intero n. 



Reciprocamente: Se sopra una curva ellittica normale C""^' 

 le n corrispondenze [apa'J, [a,, a',].. . [a„,a'„] danno per pro- 

 dotto la identità, gli spazi (a^ a.,. . . a„ ) , (a'j a'^. . . a'„) incon- 

 trano ancora G"'^^ in uno stesso punto. 



Questo teorema fondamentale può enunciarsi così: La con- 

 dizione necessaria e sufficiente affinchè due gruppi di n punti 

 (aj a.,. . .a„), (a'j a'g. . . a'„) sopra una curva ellittica apparten- 

 gano ad una stessa I„ "~^' è che le corrispondenze [a^ , a^'], 

 [ag, a',]. . . [a„, a'„] diano per prodotto l'identità (1). 



(1) Fissato un punto o (origine) sulla curva, si chiami parametro di un 

 punto a della curva la corrispondenza [o, a \, e alla parola prodotto (di cor- 

 rispondenze) si sostituisca la parola somma (di parametri); e sia il parametro 



