8 GUIDO CASTELNUOVO 



Una In'° ~ '^ razionale so^ra una curva ellittica ha n^ punti 

 muJtij)li secondo n. Il teorema sia vero per ogni J^^''~ '^ razio- 

 nale, quando r <.n \ allora per un punto di una C" ellittica nor- 

 male passano [n — 1)~ spazi S„_., osculatori altrove alla curva. 

 Preso ad arbitrio un gruppo G^„_2 di w — 2 punti sulla curva, ad 

 uno spazio 8,^_^ passante per essi facciamo corrispondere nel fascio 

 stesso i due spazi S'n_^ proiettanti i punti, in cui C" è segata 

 dai due spazi a w— 2 dimensioni osculatori a C" nei punti di S„_^. 



Keciprocamente ad ogni S'„_^ corrispondono 2 (w — 1)^ spazi 

 '^«-2- quindi accade 2] {n—\)~-\-\ [ volte che un S„_.2 coin- 

 cida con un S'„_2 corrispondente. Ora una coincidenza si pre- 

 senta quando S,^ _ , sega C„ in due punti T, T' dei quali uno 

 sia punto di iperosculazione, oppure uno T' si trovi nello spazio 

 a ?i — 2 dimensioni osculatore nell'altro T. In questo ultimo caso 

 il punto T contato n — 2 volte dà un gruppo dell'involuzione 

 I ^, individuata dal gruppo G„_^_ , e reciprocamente ogni punto 

 T multiplo secondo n — 2 nell'ultima involuzione appartiene ad 

 una tal coppia T, T' . Sicché le coincidenze («S'„_2, S'n_^) pro- 

 venienti da tali coppie T, T' sono (w— 2)-, e le rimanenti 



2]{n-\f+l \-{n-2f = n^ 



sono dovute ai punti di iperosculazione di 0" ; quindi ammessa 

 l'ipotesi, la i,/"~'^ ha n~ punti multipli secondo n. Ma il teo- 

 rema è vero per n =: 2 ; dunque , ecc. 



5. Due curve normali ellittiche (7""*"\ C'""^' siano punteg- 

 giate univocamente; per due punti dell'una e per gli omologhi 

 dell'altra si conducano due spazi S,^_^ , S'„_i , che seghino le due 

 curve in due gruppi di n — 1 punti giacenti risp. in S„_,, *S''„_j. 

 Allora ogni spazio S„_i passante per S„_,^ sega la prima curve 

 in due punti, i cui omologhi giacciono in un S'„ _^ con S',,_,^ ; 

 e gli spazi /S'„_i , S'„_i descrivono due fasci proiettivi. Infatti questo 

 appunto si verifica nelle due cubiche piane proiezioni delle curve 

 proposte da m— 2 loro punti giacenti risp. in S„_.,, S\,_,. 



Scelti ad arbitrio n spazi S„_, secanti di 0"^^ (inw — 1 punti 

 ciascuno) e gli spazi S'„_, secanti di C'"'^^ , che sono cogli S„_^ 

 nella relazione considerata, la corrispondenza univoca fra le due 

 curve determina la corrispondenza proiettiva fra i fasci -S'„_2 e 

 gli omologhi S'„_,, e quindi una corrispondenza birazionale fra 

 gli spazi a cui appartengono le due curve, per la quale si cor- 



