GEOMETRIA SULLE CURVE ELLITTICHE / 



Siccome n -\- 1 è il minimo ordine di una curva ellittica 

 appartenente ad S„ , una tal curva si dirà curva ellittica nor- 

 male di S„. 



3. So2)ra una curva ellittica esistono oo^ involuzioni ra- 

 zionali In^°~'^ , ciascuna individuata da uno dei suoi gruppi. 

 Un gruppo di n punti della C"^' ellittica normale di S^ deter- 

 mina un S„_^ che taglia ancora la curva in un punto. La stella 

 di spazi S„_, avente in esso il centro, sega sulla curva la J,/"~''. 

 Se due /,/"~'^ avessero un gruppo di n punti comune, n—2 

 di questi insieme coi gruppi di due Ij'' darebbero gruppi delle 

 J„'"~'^; e queste due Jj'^ avrebbero una coppia comune, il che 

 non può accadere. 



La serie delle lJ-° ~ '^ può riferirsi univocamente alla curva 

 sostegno. 



Una Ij"'^ razionale sopra la 0°"^' normale ellittica deter- 

 mina coi suoi gruppi infiniti spazi S„_, , i quali passano per 

 uno stesso S„_,_, avente un punto comune con C""*"'. 



Infatti poiché la i,/'"^ è contenuta in una i,/"~'^, questi 

 spazi passano per uno stesso punto della curva ; e ciascuno di 

 essi è individuato da r dei suoi punti. 



Se sopra la curva ellittica normale C°'^' si trova una 1^'^ 

 razionale (r <m <n + 1) , <jr/« spazi S„ _ i determinati dai gruppi 

 delV involuzione e da n — m. punti fissi (arbitrari) di C° "^ pas- 

 sano per uno stesso Sn_r_i , che sega la curva in un punto 

 ulteriore. 



Ogni /J'"~*^ sopra la curva ellittica normale C" "^ * {m < n + 1 ) 

 determina una p"^"'^ (residuale), i cui gruppi giacciono in spazi 

 ^„_i con ciascun gruppo dell'involuzione primitiva, 



4. Una involuzione razionale 7„^'"^ sopra una curva ellittica 

 ha un numero finito di gruppi con un punto multiplo secondo r + 1 ; 

 e il numero di questi gruppi è il numero degli spazi S^ _ i iper- 

 osculatori ad una C" ellittica di S^, od anche il numero dei 

 flessi della curva determinata sopra un piano dagli spazi ^^_2 

 osculatori a C". Questa osservazione dà un mezzo per calcolare 

 il numero richiesto ( 1 ) ; noi però seguiremo una via più semplice 

 limitandoci al caso di r = w — 1 , e dimostreremo che : 



(1) Applicando le forinole di Plucker alla curva piana si trova : Una IxS^^ 

 razionale sopra una curva ellittica contiene n (r -t- \) gruppi con un punto 

 multiplo secondo r -t- 1. 



