GUIDO CASTELNUOVO 



Involuzioni razionali sopra le curve ellittiche. 



1, Diciamo che una curva è ellittica o di genere 1, quando 

 essa contiene due involuzioni minime razionali di prima specie^ 

 d'ordine 2. 



Dalla definizione segue subito che ogni curva ellittica può ri- 

 ferirsi univocamente ad una curva piana generale del terzo ordine. 

 Infatti basta in un piano riferire proiettivamente due fasci di raggi 

 T, T alle due involuzioni giacenti sulla curva, avendo cura che 

 il raggio T T' rappresenti due coppie delle involuzioni con un 

 punto comune. Ad ogni raggio del fascio T corrispondono due punti 

 della curva, quindi due coppie della seconda involuzione e due 

 raggi di T' . I fasci T, T^ sono in corrispondenza (2, 2) col rag- 

 gio TT' unito, e la curva del terzo ordine generata dai fasci è 

 riferita univocamente alla curva data. 



Le due involuzioni i., ^'^ giacenti sulla curva non possono 

 avere una coppia comune, perchè altrimenti la curva del terzo or- 

 dine acquisterebbe un punto doppio, e sulla curva si troverebbe 

 una involuzione razionale di primo ordine contro l'ipotesi . 



Sopra una curva ellittica si trovano infinite involuzioni ra- 

 zionali I, ^'^ non aventi a due a due coppie comuni (1). 



2. Si può sempre costruire una curva ellittica d'ordine n + 1 

 che appartenga ad uno spazio a n dimensioni, e sia riferita 

 univocamente ad una data curva ellittica. Il teorema sia vero per 

 S^, e sia C"*"*"' una curva ellittica di questo spazio. Se rappresen- 

 tiamo le coppie di punti di una I,,^'^ della curva sui punti di una 

 retta g , non avente nessun punto comune con S,. , le rette che 

 congiungono i punti di g alle coppie omologhe di punti della Jj'^ , 

 formano una rigata d'ordine r + 3 contenuta in un /S"^^^ , colla di- 

 rettrice g doppia. Uno spazio ^S^ + i che passi per una generatrice 

 della rigata, senza contenerne altre, sega la rigata in una curva 

 ellittica d'ordine r + 2, che non giace in un S^ , e quindi appar- 

 tiene ad /S^^, ; questa curva è riferita univocamente a C'^'. 



(1) La definizione data di curva ellittica può essere sostituita da questa : 

 È ellittica una curva che contenga due ij^*' razionali non aventi coppie co- 

 muni. 



