GEOMETKIA SULLE CURVE ELLITTICHE 5 



Per le serie razionali di gruppi di punti vale l'importante 

 teorema : 



Se sopra una curva C si trova una serie razionale r volte 

 infinita di gruppi di n punti, nello spazio ad r dimensioni si 

 può costruire una curva C' d'ordine n riferita univocamente a 

 C(r>l) (1). 



I gruppi della serie gj''^ siano rappresentati dai punti dello 

 spazio S^. Agli oo''~' grappi di gj''^ che contengono uno stesso 

 punto M , corrispondono in S^ i punti di una varietà a r — 1 

 dimensioni F^_ , , imagine di M. Le oo' varietà corrispondenti ai 

 punti di C formano un sistema tale, che per ogni punto di S^ pas- 

 sano n varietà, ed r varietà F^_, hanno in comune (oltre ai punti 

 fissi) un numero finito (diverso da zero) di punti variabili Quindi 

 il sistema lineare più basso di varietà che contiene le oo^ F^_, , 

 sarà di molteplicità 5 > r. Si rappresentino le varietà di questo si- 

 stema lineare sui punti dello spazio S^ ; alle 00^ V,. _ , corrispon- 

 dono punti di una curva C" d'ordine n riferita univocamente a C. 

 Ora se s=zr il teorema è dimostrato; se 5>r basta proiettare C" 

 in S^ da uno spazio /^^_r_,. 



II caso 5 = r si presenta quando g,, ^'"^ è una involuzione, e solo 

 allora. La g„ ^''^ involutoria sopra C" e determinata dagli spazi 

 S^_^ àiS^; quindi: U involuzione razionale In'" sopra una curva 

 ha le stesse proprietà dell'involuzione determinata sopra una 

 curva d'ordine n di Sr dagli spazi Sr_ , , quando le due curve 

 siano riferite univocamente. 



In particolare : / gruppi di n — p punti che insieme a p 

 punti fissi danno gruppi di una I„ ^'^ razionale, appartengono ad 

 una In_/'~^' razionale. 



Se r è la massima dimensione di una serie razionale d'ordine 

 n giacente sopra una curva , non può essere s > r ; quindi : 



Se V è la massima dimensione di una serie razionale d'or- 

 dine n giacente sopra una curva, questa serie è involutoria. Se 

 r non è la massima dimensione, esiste una involuzione 7„^*' che 

 contiene g}''K 



Un importante corollario del teorema fondamentale è il se- 

 guente: Se tutti i gruppi di n punti di una curva formano una 

 serie razionale, la curva è razionale. 



(*) Sono escluse quelle serie nelle quali un gruppo passante per r — 1 

 (0 meno) punti arbitrari è costretto a contenere altri punti della curva. 



