198 GUIDO CASTELNUOVO 



4. Sopra una curva C giacciano due serie gj'\ gj'\ e queste 

 abbiano in comune «g coppie di punti, «g terne di punti,... a,, 

 gruppi G,. di r punti. 



Se si riferiscono i gruppi delle due serie gj'\ //„'" proiet- 

 tivamente a due fasci di raggi M , N giacenti in un piano, ad 

 ogni punto P di C si potrà far corrispondere nel piano il punto 

 Q comune ai due raggi di M, N che rappresentano i gruppi 

 delle due serie determinati da F. Fra i fasci M, N in tal guisa 

 si stabilisce una corrispondenza {m , n) ; e quindi il luogo del 

 punto Q è una curva d'ordine m -\- n , che ha il centro del primo 

 fascio multiplo secondo n , il centro del secondo multiplo se- 

 condo m, ed ha inoltre «g punti doppi , a^ tripli . . . e/.,, r.upli. 

 Questa curva è di genere 



ed è riferita univocamente a C. Da ciò : 



Una curva la quale contenga due serie gj;'\ g„^'^ aventi in 

 comune a, gruppi G; (i = 2 , 3 . . , r) è di genere 



p = {m-l){n- O-^ar 



(.•-1) 



e può sempre riferirsi univocamente ad una {certa) curva piana 

 d'ordine m+n, con un punto m.tiplo, un punto n.uplo ed «, 

 plinti multipli secondo i. 



In particolare se una curva contiene una g,y\ si può sempre 

 costruire una curva piana riferita univocamente alla data , che 

 sia d'ordine m + k ed abbia un punto multiplo secondo k (per 

 Aj abbastanza grande), per modo che su questa curva la gj'^ 

 sia segata dalle rette uscenti dal punto /i;.uplo. 



5. JDue serie gJ-'^\ Qd'\ le quali giacciano sopra una stessa 

 curva, ed abbiano una g„ '^ comune, sono contenute in una stessa 

 serie gJ-'^'^'~^\ {t<:q, r). 



Sia anzitutto q = r=l, t = , cioè si tratti di due g,j'^ con 

 un gruppo 6r„ comune. 



La curva proposta può riferirsi univocamente ad una curva 

 piana d'ordine 2w con tre punti n. upli ; le rette uscenti da due 

 di questi segano sulla curva le due gJ'K Ora le coniche che 



