200 GUIDO CASTELNUOVO 



gj^''^ e Q hanno in comune la g^'\,+, costituita da g^\_, con Q ed 

 R: quelle due serie quindi giacciono in una stessa g '~' . Si 

 suppone che la curva sostegno non sia razionale, nel qual caso 

 questo teorema diventa superfluo. 



Se sopra una curva giace una gj'\ ma non una g ', ogni 

 g„^'^ della curva o è contenuta nella g}''\ o non ha con questa 

 nessun gruppo Gq_, comune. 



7, Punti multipli. — Una serie g^"^ sopra una curva di 

 genere p contiene in generale 



(1) {r -\- ì) (n -\~ r p — r) 



gruppi con un punto multiplo secondo r+1. 



Sia anzitutto r=-\ , e la serie if/J"' sia segata sopra una 

 curva piana C^""^^ d'ordine n-\-li e genere p con un punto 

 multiplo secondo A-, dalle rette uscenti da [4]. Il numero ri- 

 chiesto è il numero delle tangenti a C^""^* che passano per 0. 

 Ora se i rimanenti punti multipli della curva equivalgono (per 

 il genere e per la classe) a à punti doppi, quel numero è 



{n + h){n -\-h- l) -li{h -^l) -2o = 2{n+p-\) , 



come dà la (1). 



Sia poi r > 1 ; si chiede quanti siano gli spazi S^_ , ipero- 

 sculatori a una curva Cy d'ordine n e genere x^ di S,. [2]. Ora 

 questo numero è il numero / dei flessi della curva Cp"' sezione 

 piana degli spazi S^_^ osculatori a C^' (^'). Ma di Cy' possiamo 

 calcolare l'ordine ??', il numero delle cuspidi /, e la classe p., 

 se ammettiamo che la formola (1) valga per le serie di molte- 

 plicità inferiore ad r. 



Perchè n è il numero degli S,._^ che passano per una retta 

 ed hanno un contatto (r — 1). punto con C^,", cioè 



n' = {r-\)]n + {r-2){p-\)\ ; 



e ;( è il numero degli S,._^ che passano per un piano ed hanno 

 un contatto (*'— 2). punto con 0/, 



/ = (r-2)|w + (r-3)(p-l){. 



(*) Veronese, Behandlung der projectivischen Verhàltnisse ; Math. Ann. 19 



