202 GUIDO CASTELNUOVO 



Sia y,- il numero di quei gruppi di i punti che sono con- 

 tenuti in ^J'', e che, quando uno dei loro elementi si conti 

 r+2 — «■ volte, giacciono nella ^J''^ il numero che ci propo- 

 niamo di determinare sarà dato da y,,^, . 



Finalmente sia o,- il numero dei punti multipli secondo 

 (r— «+1) di una involuzione d'ordine n — ? e molteplicità r — « 

 sulla curva ; 



0. = (r — i + l)\n — r + {r — i)p j . 



Supponiamo per semplicità che la curva data di genere 2^ 

 sia una curva piana d'ordine m-^Jc con un punto multiplo 

 secondo h [4] , per modo che la gj'^ sia segata dalle rette 

 uscenti da 0. 



E facile stabilire una relazione fra y^ e y; + ,. Infatti nel 

 fascio si fissi una corrispondenza , assumendo come omologhi 

 due raggi «, , ^, , quando uno di essi 6, passi per un punto mul- 

 tiplo secondo (r — ? + l) di un gruppo di ,^,/'"^ avente i punti 



I 0, raggi 



è,; e ad ogni raggio />, corrispondono n>c/^ raggi r/,. Il numero 

 dei raggi e, , nei quali coincidono due raggi omologhi «, , 6- , è 

 adunque 



G> 



+ m c<i 



D'altra parte un raggio e, , contiene un gruppo G^ di i 

 punti che, quando uno dei suoi punti si conti (r— 2 + 2) volte, 

 giace in g,^''\ oppure contiene un gruppo (r,^, di « + 1 punti 

 che, quando uno dei suoi punti si conti (r— /+ 1) volte, giace 

 in gj''\ Sicché 



"-(:>. 



y. + y,+, = ( . ]6, + ma,. 



Questa uguaglianza vale per /=l,2...r— 1; vale pure per 

 v = 0, se si pone 'y.^=0, e per / = r, quando al posto di y^^, 

 si scriva (?' + l)y, + ,, perchè un raggio e,, contenente un gruppo 

 G^_^, comune a gj'\ g,y\ assorbe (r+ 1) coincidenze di a,, con b,.. 

 Attribuendo ad i i valori successivi r, y — 1, . . . 1, , mu- 



