204 GUIDO CASTELNUOVO 



Da questa proprietà si deducono molti fra i risultati dei pa- 

 ragrafi seguenti. 



10. Una conseguenza immediata della (2) è la seguente (già 

 nota (*) ) : 



Se sopra una curva d'ordine n e genere p, appartenente allo 

 spazio Sr si trova una serie gj", z cui gruppi appartengano 

 a spazi S^_, (m— l<:r), l'ordine della varietà razionale a 

 m dimensioni costituita dagli spazi S^_^ è n — p— (m — 1). 



Questo infatti è per la (2) il numero dei gruppi G„ comuni 

 alla g„y^ e alla serie gjT''^ determinata sulla curva dagli >S'^_, , 

 che passano per uno spazio a [r — m) dimensioni , arbitrario , 

 di 8,. 



Se i gruppi di g,,}'^ appartengono a spazi 8^ , nello stesso 

 modo si prova che l'ordine v della varietà costituita dagli 8^ è 

 dato dall'uguaglianza 



essendo z il numero degli spazi /S'^_, in cui giacciono gruppi 

 6r^^, contenuti nella gJ'K Questa uguaglianza , per involuzioni 

 razionali gj'\ coincide con una formola del sig. Segre {**). 



Curve normali. 



11. Allo spazio ad r dimensioni 8^ appartenga una curva 

 d'ordine n e genere p C^". Per uno spazio 8^ di 8,. , il quale 

 incontri in s punti la curva, passano oo''~^~' spazi 8^_, , i quali 

 segano sulla curva una serie g'^~^~' ; diremo che 8^ è asse di 



questa serie. 



Gli spazi 8^ che segano in (jO+l) punti la curva, sono in 

 numero di oc?*'. Gli spazi 8^ che segano (almeno) in (^ + 2) 



che dà il numero dei gruppi G ^,, comuni a due serie 5'^('7), 5'„('") sopra una 

 curva di genere p. Per la dimostrazione v. la nota Una applicazione della 

 Geometria enumerativa; Rend. del Circolo Matematico di Palermo, 1889. 



(*) Seqre, Courbes et surface% réglées, § 15, Math. Ann. XXX. 



{**( Sulle varietà algebriche; Rend. Lincei, voi. Ili, fase. 7°. 



