206 GUIDO CASTE I.NUOVO 



Sopra la curva normale Cp° di S, una serie g^''' , i cui 

 gruppi stiano in spazi S^ , ha per residua una serie g'~^~' , 

 i cui gruppi stanno in spazi S^_^ . 



Se i gruppi della seconda serie appartenessero a spazi Sr_^_, , 

 la prima serie sarebbe contenuta in una g,ji''\ 



Keciprocamente se la (/,„"• è contenuta in una gj''\ la serie 

 g "^'^ ' , che ha per asse lo spazio S^ di un gruppo G^ di ^J'\ 

 è residua di ogni ^/J'^ passante per G„ e contenuta in ^„['", è 

 quindi residua di gj'^ . Ogni gruppo di g^''~^~'^ deve giacere in 

 uno spazio S^_^_, . 



Sopra la curva Cp° normale per S^ una serie g^°'\ i cui 

 gruppi giacciano in spazi S^, ha per residua una serie g'~^~' , 

 i cui gruppi stanno in spazi S^^q^, . 



Dall'esistenza della prima serie segue l'esistenza della seconda. 



14. il numero delle dimensioni dello spazio a cui appartiene 

 un gruppo di gj''^ non può superare ni— \ , ed è certo infe- 

 riore a questo numero per quelle curve C^" di S,. nelle quali 

 n —p < r. 



I gruppi di gj''' sopra una curva C,," appartenente ad S, 

 stanno in spazi a m— 2 dimensioni, quando n— p<:r {e m— 2<r). 



Basta dimostrare che i gruppi di g„['^ con r — m + 1 punti 

 arbitrari della curva, danno gruppi giacenti in spazi S,._, . Perciò 

 si noti che lo spazio di quei r ~ m-\-\ punti è asse di una serie 

 9nZn-r-i ' ^^ l^ale contienc la g„^'\ perchè [9] si ha 



ni — 1 



p > (n + m — r — \ — im — 1 ) ) , 



m — \ 



in virtù dell'ipotesi p>n—r. Non è escluso che i gruppi di 

 ^m'"' appartengano a spazi inferiori. In generale : 



I gruppi di una serie g^,"^' sopra una curva Cp° apparte- 

 nente ad S^ giacciono in spazi a (m — q— 1) dimensioni (o in 

 spazi inferiori) se n — p < r, [e m — q — 1 < r). 



Infatti q—\ punti arbitrari della curva hanno per comple- 

 mento una serie g ' , i cui gruppi appartengono a spazi 

 \ni — q—\ — Q\ [*) (per ^>0). In uno di questi gruppi di 



(*) Seguendo lo Schubert indicheremo talvolta con [r] uno spazio ad r 

 dimensioni. 



