GEOMETRIA SULLE CURVE ALGEBRICHE 207 



m ~ q-\- ì punti prendiamo m — q punti apjìartcncnti a 



[m — g — 1 — ^] , 



e indichiamo con Cr„,_,/ il loro insieme : e con ti^^ il gruppo for- 

 mato dal punto rimanente e dai (j — \ punti primitivi. ^,„_^ con 

 ciascun punto di G^ dà un gruppo di una g"_ (complemen- 

 tare ai rimanenti q-~\ punti di G^), un gruppo quindi giacente 

 in un \ììi — </ — 1 — ò] ; ma poiché un tale spazio è già deter- 

 minato da 6^,„^,/ , si conchiude che in questo spazio cadono tutti 

 i punti di G^ ; ossia tutti i punti di un gruppo arbitrario di (j^ ''K 



15. Si noti che 1' ultimo teorema , se è applicabile a una 

 curva Cp" di S\., vale pure per ogni curva Ci"' di S^ che sia 

 proiezione della prima , anche quando non sussista la disugua- 

 glianza n — p<.r'. In virtù del teorema 13 si ha poi: 



Se sopra una curva normale Cp" di 8, per la quale n— p<r, 

 si trova una serie gj'^^ (m — q<r), sulla curva si trova pure 

 una serie cVordine (n — m) e di molteplicità [almeno) uguale 

 a (r — m+q), i cui gruppi stanno in spazi Sr_q_, . 



16. Una curva d'ordine n e genere p appartenga ad uno 

 spazio S,. : dati n e p vogliamo trovare un limite superiore ad r. 

 Tratteremo in primo luogo il caso in cui è n> 2p — 2 , dimo- 

 strando un noto teorema dovuto a Clifford. 



Se n>-2p — 2 lo spazio più elevato a cui appartiene una 

 curva d'ordine n e genere p, ha n — p dimensioni. 



Supponiamo infatti che O^" appartenga a >S'„_,,_^, . Si seghi 



la curva con uno spazio S„_^, tale, che delle n intersezioni n—p-\-\ 



quali si vogliano siano linearmente indipendenti [H]. Allora per 



p — ^ fra questi n punti (poiché per ipotesi è p — i ^n — p) si 



può condurre uno spazio S„_p_, , che non seghi ulteriormente la 



curva. E questo /S'„_^_, è asse di una g _ , della quale non 



tutti i gruppi giacciono in spazi \n—p—l]. Oragli spazi S„_p 



passanti per un punto della curva che non giaccia in >S'„_^,^., , 



segano una serie g^'^'~'' che non contiene la ^^^ . Dunque [9] 



deve essere 



n — ì) 

 i>< («— 1 — (n— i?)) , 



il che è assurdo. 



