208 GUIDO CASTELNUOYO 



Una curva di genere ^ e d'ordine n'>2p — 2 è normale per 

 lo spazio a w — j) dimensioni. 

 17. Sia ora 



a) n<:2p — 2, 



e ammettiamo, se è possibile, che sia 



|3)' n<2r . 



In S,. si conduca un S^_, che seghi C^" in n punti, in guisa 

 che r qualisivogliano fra questi siano linearmente indipendenti ; 

 r~l degli n punti apparterranno ad uno spazio S,._^ ; e nella 

 serie g' .di cui è base Tultimo spazio, solo un numero finito 

 di gruppi giacerà in spazi [w — r— 1]. Scelti su Cy (2r — n) 

 punti, nessuno dei quali giaccia in *S',._^ , gli S^_^ passanti per 

 essi determinano una a "~' , che non contiene la ^ ' ; dunque 



[9] 



jP< {2(n — r) - (ìi—r)) , 



n — r 



ossia p^iìi — r . 



Se aggiungiamo alla a) questa ultima raddoppiata, otteniamo 

 M>2r+2 



che contraddice alla |3)'; quindi la jS)' è incompatibile colla «). 

 Per conseguenza fatta l'ipotesi e/.), si deve avere 



|3) w> 2 r , 



e perciò 



Y) r<p — 1 



Se n<2Tp— 2, e la curva Cp" appartiene ad S^ , deve essere 



n 

 r"^ — . r <'ì) , 

 ~2 ^ 



Si noti che la y) ha per conseguenza la disuguaglianza |3). 

 Perchè se, ammessa la yj, non fosse vera la j'S) ma la fj)', non 

 potrebbe sussistere la a), e quindi per il teorema di Clifford si 



