GEOMETRIA SULLE CURVE ALGEBRICHE 209 



dovrebbe avere r^n — p, che sommata alla y) dà una disu- 

 guaglianza , che contraddice la {lì)' . Si può quindi enunciare il 

 teorema (noto): 



Se Cp" apxìartiene allo spumo S, ed è r — p , deve essere 

 n > 2 r ; (il caso r :=p non contemplato nel ragionamento pre- 

 cedente, può tuttavia esser trattato colle stesse considerazioni). 



Si ha pure : 



La curva di genere p e d'ordine 2p — 2 è norìuale per lo 

 spazio a (p — 1) diììiensioni. 



18. Considerazioni analoghe alle precedenti permettono di fissare 

 un limite superiore al genere p di una curva di dato ordine n 

 appartenente ad S^, quando sussista la disuguaglianza 



,3) n^2r . 



Perciò si seghi la curva C ^" con un >SV_, , in modo che delle 

 n intersezioni >• qualisivogliano siano indipendenti. La g'_ che 

 ha per base lo spazio *S^_^ determinato da r — 1 di queste in- 

 tersezioni , contiene solo un numero finito di gruppi di r punti 

 giacenti in spazi [>•— 2], e quindi ha solo un numero finito di 

 G,. comuni colla serie </'_', segata dagli S^_, passanti per un 

 punto V della curva non giacente in S,._.^ . Fra questi G^ si trovano 



quei I I gruppi formati colle n — r ulteriori intersezioni di 



C/ e dello spazio (VS,^,). Quindi [8] 



, /n — r\ /n—r—ì\ /n — r\ 



("-'Hr-l)-H r-2 / = ( r } ' 

 ossia 



(n — r-\-l) (n — r) 

 r 



Questo limite in generale non sarà raggiunto ; ma in seguito 

 mediante considerazioni meno semplici, troveremo il massimo valore 

 che può assumere il genere di una curva di dato ordine appar- 

 tenente ad ;S'^. Per ora ci limitiamo ad osservare che: 



La curva d'ordine 2 r dello spazio S^ non può avere il 

 genere superiore ad r + 1 . 



Cosi la curva d 'ordine 2 > + 1 di '^,- non può esser di genere 

 superiore a r+3, se »>2 , ecc. 



