210 GUIDO CASTELNUOVO 



19. Si può sempre costruire nello spazio Sp_, una curva 

 d'ordine 2 p — 2 che sia riferita univocamente ad uno. data curva 

 di genere p , purché questa non contenga una g^'^ (non sia iperel- 

 littica) . 



È noto infatti ('^) che in una curva piana qualunque d'or- 

 dine n e genere p, le curve aggiunte d'ordine n—2> segano 

 una g _^ , che è involuzione semplice se la curva proposta non 



è iperellittica. 



Due curve Cp''^"" di Sp_^ riferite univocamente si corrispon- 

 dono in una collineazione (^'^). 



20. Si può sempre costruire nello spazio S, (r>2) ima curva 

 d'ordine r + p, che sia riferita univocamente ad una data curva 

 di genere p. Si può supporre che la curva data sia piana d'or- 

 dine n ed abbia solo singolarità ordinarie. Le curve aggiunte 

 d'ordine n — 2 formano un sistema (almeno) ìi-\-p — 2 volte in- 

 finito ; queste curve segano sulla curva d' ordine n una serie 

 d'ordine n + 2^? — 2 e molteplicità non inferiore a n + jp — 2 , 

 (perchè se fosse inferiore, per ogni gruppo della serie dovrebbero 

 passare infinite curve aggiunte d'ordine n—2, e la curva data 

 dovrebbe scindersi). Dunque in [?i + 2:'— 2] si trova una curva 

 d'ordine n-\-2p — 2 , riferita univocamente alla data. Proiet- 

 tando questa curva sopra un piano da un [n+j;-5], ot- 

 teniamo una curva d'ordine ^^ + 2 j? — 2 , la quale dalle curve 

 aggiunte d'ordine {n-\-2p~2)~2 è segata in una serie d'or- 

 dine n,-\- 4:p — A e dimensione n-\-Sp — 4: a questa serie cor- 

 risponde in [n + 3jj— 4] una curva d'ordine «+4jj — 4; e cos'i 

 via. Procedendo in questo modo si potrà costruire in uno spazio 

 S„ , dove Pi^-r, una curva d'ordine Il-\-p riferita univocamente 

 alla curva data. Proiettando la curva di ^S'^ da i? — r suoi punti 

 in S^, si ottiene la curva richiesta. 



Si può anche dire che sopra una curva di genere p esiste 

 sempre una serie g '' qualunque sia r ; la serie è completamente 

 definita da un suo gruppo 6r,._,_/, (che può prendersi ad arbitrio) 

 se r->p-2 [5, 16] . 



(*) V. Brill e NÒTHER, JJeber die alg, Functionen. 

 (•*) Segre, Courbes et surfaces, § 7. 



