GEOMETRIA SULLE CURVE ALGEBRICHE 211 



La curva 6'/^-' di ^^_. . 



21. Dai seguenti paragrafi sono escluse le curve iperellittiche 

 (oltre alle razionali, ed ellittiche). Di ogni altra curva di genere 

 p sappiamo che può riferirsi univocamente ad una curva ben de- 

 terminata d'ordine 2p—2 di Sp_, , che per brevità sarà indi- 

 cata nel seguito con C^ . 



Diremo che una serie ^,/''^ è normale , quando non è con- 

 tenuta in una serie dello stesso ordine e di molteplicità supe- 

 riore. Una curva di S,, , sulla quale gli S^_^ seghino questa 

 g^^''\ è normale. 



22. Poiché la Cp è normale e (2j^ — 2) — p <^j — 1, valgono 

 i teoremi [14, 13] : 



I gruppi di una serie gj-'^ sopra C,, , quando n — r < p , 

 stanno in spazi a n — r — 1 dimensioni, e appartengono a questi 

 se gj'^ è normale. 



Sopra Cp una serie g}'^ normale, quando n— r<p, ha per 

 residua una serie g ''_ '_ " ' , i cui gruppi stanno in spazi 

 [p-2-r]. 



Quanto alla seconda parte del primo teorema si noti che se 

 un gruppo di g,^''^ giacesse in un \n — r — 2] , la serie residua 

 d'ordine 2p— 2 — w sarebbe di molteplicità 



p—2—{n — r — 2) =p — {n — r) , 



i suoi gruppi dovrebbero giacere in spazi [2? — 3 — r] , e quindi 

 la serie proposta g,^""^ sarebbe contenuta in una gj'''^'\ contro 

 l'ipotesi. 



Se gj^^ è normale, la serie residua è pure norìi/ale (n — r<:p). 



Dal primo teorema segue che se n — r <.p , mai n punti 

 possono assumersi ad arbitro per costruire un gruppo che ap- 

 partenga a qualche g,y\ ma al più n — r punti. 



Se su Cp si trova im gruppo di n punti app)artenenti ad 

 un [n — r— 1] (n — r<p), questo gruppo giace in una g^/'^ nor- 

 male, residua di quella serie che ha per asse lo spazio [n — r —1]. 



I due primi teoremi di questo paragrafo, tenendo conto della 

 costruzione di Cp [19], possono enunciarsi nella forma nota: 



Ogni serie gj^'^ sopra una curva piana d'ordine v e di ge- 

 nere p, se n — r<Cp, è segata da curve aggiunte d'ordine v — 3. 



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