212 GUIPO CASTELNUOVO 



Le curve aggiunte d'ordine v — 3 che passano per un gruppo 

 di g}'^ segano sulla curva una serie d'ordine 2 p - 2 — n e di 

 dimensioni p— 1 — (n — r), che è residua di gj''. 



Quest'ultimo teorema porta il nome di Riemanu-Koch (*). 



23. Diremo speciale ogni curva di S^ che sia proiezione di 

 Cp da uno spazio )S^_,_r di Sp_, , il (luale può anche segare C,, 

 in qualche punto ; e diremo speciale ogni serie di molteplicità r 

 che, quando giaccia su C,, , ahbia per asse un Sp_^_^ (**). L'or- 

 dine di una curva (o serie) speciale non può superare 2p — 2; 

 la dimensione dello spazio a cui appartiene la curva (o della serie) 

 non può superare p — \. 



Se n — r <: p , una serie g J'^ sopra una curva di genere p 

 è speciale, ed è speciale una curva Cp° appartenente ad ^, , 

 perchè dal n° precedente segue che se g,y^ giace su Cp , essa è 

 segata dagli Sp_^ passanti per un [p—2 — r] avente 2^; — 2 — w 

 punti comuni con Cp ■ Da questo \p — 2 — r] la Cp è proiettata 

 in una curva Cp" di S^. 



Se una serie speciale normale d'ordine n contiene un gruppo 

 di m punti G^, , essa contiene ogni serie speciale a cui G^ ap- 

 partenga . 



La serie proposta g}''' si trovi su Cp, e il gruppo G^ ap- 

 partenga ad uno spazio \m — q~\], per modo che la serie 

 speciale normale che lo contiene sia la g,^^''^ Sia poi G„ un 

 gruppo di ^n^'"' contenente 6r,„ . Uno spazio Sp_^ passante per 

 G„ sega Cp in altri 2p — 2 — n punti giacenti in un [p—2 — r]. 

 Questi stessi punti cogli n — m punti di (?„ che non stanno in 

 G„, danno un gruppo di 2p — 2 —m punti di un [2? — 2 — g-]. 

 Ora lo spazio \p— 2 — r] è asse di g}''\, e lo spazio [p~2 — q] 

 è asse di gj''^ ; e poiché il primo spazio sta nel secondo, segue 

 che la prima serie g„^''^ contiene la seconda gj'^\ Segue pure 

 che la serie residua di g^''^ è contenuta nella serie residua di g^''^ 



24. Su Cp sia data una serie g}''\ (r>l), e sia 



«,) n — r<zp; 



la serie è speciale, quindi 



/3,) n<2i9 — 2. 



(*) V. Brill e NÒTHER, Ueber die algehraischen Functionen, § 4, 5. 

 (**) Nella memoria citata di Brill e Nòther si dice speciale ogni serie 

 segata sopra una curva piana d'ordine v da curve aggiunte d'ordine v — 3. 



