216 GUIDO CASTELNUOVO 



Dalle stesse ipotesi «) seguono i teoremi : 



k gruppi arbitrari di gn^""^ appartenyono acì, uno spazio di 



) c?, = p., + p., + . •. + p.*-l 



dimensioìti. 



I gruppi di gj^^ presi a k « k, danno gruppi di ima serie 

 speciale normale d'ordine kn e di molteplicità 



£*) r^ = Jcn — (p., + p., 4- . . . + [J-^) ■ 



Se valgono le a) deve essere evidentemente [j.f,>0. L'ipotesi 

 opposta porterebbe di conseguenza, che se consideriamo {k — l) 

 gruppi arbitrari di gj''\ ogni spazio Sp_^ , passante per p., punti 

 del primo, [j.^ punti del secondo, . . . p.^_, punti dell'ultimo, do- 

 vrebbe contenere ogni altro gruppo di gj''\ il che è assurdo. 



Ma si vede pure facilmente che deve essere 



(Xk7>r-1 , 



quando sussistono le a) ; perchè altrimenti la 



p.,-~(r-l)<0, 

 insieme colla 



(J., + [J.,+ . . . + IJ.,_, + (J.^ <.p 



(conseguenza della OLf) e 7^)), darebbe 



analoga alla a,) ; e tuttavia questa disuguaglianza è incompati- 

 bile colla iXi, — [r — 1 ) < , per ciò che si disse sopra (quando 

 al posto di k stava k — \). 



Da questa osservazione segue che, se, essendo vere le disu- 

 guaglianze «,), aj . . . a^), e quindi le 7,), 7,). . . 7;^) , si trova 



7/) /a,<2(r-l), 



allora la disuguaglianza a/,^,) non è più vera, ma invece 



«'a+,) /J-, + i"-.+ . . . +p.^._, +2^,- (r-l)>^) . 



Ora le disuguaglianze 7,), 7^), . . . 7^) sommate insieme danno 



e) ^^^{,i-r)-{h-\){r-\)', 



