218 GUIDO CASTELNIJOVO 



genere di una curva su cui giaccia una ^,/'"^ , od anche dà il 

 massimo genere di una curva d'ordine n appartenente ad S,. . 



Il genere di una curva d'ordine n appartenente a S^ non 

 può superare 



(1) X]^ 5--/^-T- 



n — r 



dove y è il mini'nw intero non inferiore a . 



r — 1 



Nello stabilire la (1) si è supposto che sussistano le prime 

 / — \ delle disuguaglianze a,), aj..., almeno la a,); era quindi 

 escluso il caso /=1 ossia n<z.2r. È però facile provare che la 

 (1) vale anche in questo caso. Infatti se M<:2r , si ha [17] 

 M>2^; — 2 , e quindi per il teorema di Clifford, il genere ha 

 per massimo valore n — r\ e questo è il valore della (1) per 



Dunque la (1) dà per il genere di C" in S^ un valore mas- 

 simo che è raggiunto, se n<i2r. Ma anche per ogni valore di 

 w>2r, il valore dato dalla (1) è raggiunto. Infatti come risulta 

 da una formola del sig. Segre {*), le curve semplici d'ordine n 

 della rigata razionale normale d'ordine r — 1 di ^S*^ , seganti 

 ^+1 volte ciascuna generatrice, hanno per genere il valore (1) ; 

 e l'esistenza di tali curve è provata dalla rappresentazione piana. 



Eisulta poi dalle considerazioni precedenti che, se la curva 

 C" di S^ ha il genere dato dalla (1) per X>2, nella e) si deve 

 prendere il segno di uguaglianza e quindi le 7) devono ridursi 

 a uguaglianze: 



r,) iJ.,= {n-r)-{i-.\){r-\) {i=l, 2, . . . y^-\) . 



Per /=1 si ha che la C" è normale per 8^. 



28. Chiameremo curva di genere massimo per un dato ordine 

 n in ^S'^, una curva C" di S^, il cui genere sia dato dalla (1). 

 Si presenta naturale la domanda se ogni curva di genere massimo 

 di S^ stia sopra la rigata d'ordine r — 1 , come avviene in 8^. 

 Le ultime considerazioni ci permettono di rispondere completa- 

 mente alla questione. 



Le varietà a r— 1 dimensioni d'ordine ìc F'' segano sopra 



Intorno alla geometria su una rigata alg^ehrica ; Rend. Lincei, 1887. 



