220 GUIDO CASTELNUOVO 



(r — 1 \ 

 la quale dice che per la curva data C^" passano almeno I I 



quadriche linearmente indipendenti. 



Si abbia invece nella (1) / = 2 , cioè 



w<3r— 2 , 



jp=2w — 3r+l <w— 1 . 



Poiché 2 w > 2^? — 2 , la serie segata su C^ dalle quadriche di 

 S^ non è speciale, e quindi per il teorema di Clifford la dimen- 

 sione di questa serie non può superare 



così si ha anche in questo caso 





e si arriva alla stessa conclusione. 



D'altra parte si vede facilmente che nell'ipotesi w>2r, per 



/r— 1\ 

 C^ non possono passare i I + ^ quadriche indipendenti. In- 



fatti sia >S',._, uno spazio il quale seghi C^," in n punti, dei quali 

 r qualisivogliano siano linearmente indipendenti [H]. Se le qua- 

 driche passanti per C^ formassero un sistema di I 1 dimen- 

 sioni , un sistema di quadriche di S^_^ della stessa molteplicità 

 dovrebbe passare per quegli n punti. E le quadriche di S^_^ 

 passanti per 



K 



't')-'l-(';'i=-^<-'> 



di quegli n punti, dovrebbero contenere i rimanenti. Fra queste 

 quadriche si consideri una che degeneri in due spazi S^_^ ; uno 

 almeno di questi dovrebbe contenere più che r — 1 fra gli n 

 punti, e ciò contro l'ipotesi fatta su S^_^ . 



