GEOMETRIA SULLE CURVE ALGEBRICHE 221 



Possiamo dunque asserire che 



Per una curva di S^ (V ordine n>2r e del massimo genere 



passano ( ) quadrichc linearmente indipendenti ; e ogni altra 



quadrica per Cp" appartiene al sistema di quelle (*). 



Se r = 3 , la curva giace arlunque sopra una quadrica, il 

 che è già noto. 



30. Sia r > 3 ; quale sarà la varietà base del sistema 2 di 



/r — 1\ 

 quadriche, di specie 1 ) — 1 ? 



La dimensione di questa varietà base non può superare 2. 

 Infatti se una varietà a tre dimensioni fosse base del sistema di 

 quadriche. uno spazio S^_-^ segherebbe 1 in un sistema di qua- 

 driche avente per base qualche punto ; e la molteplicità di questo 



sistema sarebbe inferiore a j j — 1 , che è la molteplicità 



del sistema di tutte le quadriche di 6',._3 ; adunque ogni spazio 

 S^_^ dovrebbe trovarsi in qualche quadrica di 1. Ma ciò non è 

 possibile , perchè se si conduce lo spazio S,._^ determinato da 

 r — 1 punti linearmente indipendenti di C ", uno spazio /S,._3 di 

 S,._^ che non contenga nessuno di quegli r — 1 punti non può 

 trovarsi in una quadrica passante per C^". 



Visto ciò, si seghi la curva C^" e il sistema 1 con uno spazio 

 S^_i in il punti e in un sistema 1' della stessa dimensione di 

 2 ; e sia tale lo spazio S^-i che delle n intersezioni r qualisi- 

 vogliano siano linearmente indipendenti. Poiché tutte le quadriche 



/ r -f- 1 \ 

 di yS'^_, formano un sistema di specie 1 1 ~ ^ ' °S"i qua- 



drica passante per 



irt')-;-irr)-i-— 



di quegli n punti, deve contenere i rimanenti. 



Dico ora che se w>2r , gli n punti si trovano sopra una 

 curva razionale d'ordine r — 1 , la quale è contenuta in tutte le 

 quadriche di 2'. Indichiamo gli n punti con 



(G) A,. A. . . A,,_, , B,, B^. ..B 



n—xr+i 1 



(*) Questo teorema è noto nei caso nz=.2r, p^=zr-{-ì. 



