222 GUIDO CASTELNUOVO 



e i primi 2r— 1 abbiano la proprietà che ogni quadrica pas- 

 sante per essi, passi per i rimanenti. Basterà dimostrare che la 

 curva razionale C/~' determinata dagli r-\-2 punti 



passa per tutti i punti B, e per uno qualunque dei rimanenti 

 punti A ad es. per A^^_^ . Perciò consideriamo la piramide fon- 

 damentale che ha per vertici i punti 



A, , A^ . . A^ 



r—\ 1 



e indichiamo con S^^^ \q spazio-faccia a r— 3 dimensioni che 

 non passa per A^ . Sia poi S^_^ lo spazio determinato dai punti 



Ar^^ , -4^4.1 . . . A 



ir— i 



Se riferiamo proiettivamente i due fasci di 8^_^ che hanno 

 per sostegni S ' , S^_-^ , in guisa che si corrispondano gli spazi 

 proiettanti A- , A^ , A^^_^ , otteniamo come luogo delle interse- 

 zioni degli spazi omologhi una quadrica, che passando per tutti 

 i punti A, dovrà contenere tutti i punti (G); quindi 



>s/:^3 {A, , A.-Ì , ^. , J5, . . .) -/\ ^,_3 (^., ^,._. , 5. , J5, . . .). 



Poiché in questa relazione, quando ad i si danno i valori 1, 2, 

 3 . . . y— 1 , il secondo membro non si altera, segue che gli r — \ 

 fasci proiettivi aventi per sostegno le faccie della piramide, ge- 

 nerano una curva razionale d'ordine r — 1 , la quale passa oltre 

 che per 



-4, , A^ ^ . . . A^ , X), , ^j , 



anche per A^,._^ e per tutti i punti B\ e ciò appunto si voleva 

 dimostrare. Poiché le quadriche di 2' contengono ciascuna più che 

 2 {r — 1 ) punti di questa curva razionale CV"' r segue che le 

 quadriche stesse passano per C„''~' . 



Dunque se w > 2 r , le quadriche di 1. hanno una varietà 

 base che é segata da ogni S^_^ in una C/~' ; questa varietà 

 deve essere una superficie a due dimensioni di ordine r — 1 . 



