l'equazione modulare nella trasformazione, ecc, 237 



Le cose essendo ridotte a questo punto, il calcolo che segue 

 per la determinazione di x è quasi intieramente una riproduzione 

 di quello fatto da Sohnke nel suo sopracitato lavoro. 



È chiaro che x è funzione di x, poiché ad ogni valore di 

 V. o, quel che è lo stesso, di /, corrisponde un valore di x. 



Laonde posto x = (p {•/.), avremo: 



r=r ae / n' \zr 



/rt I \ m''-i / «'\ 8 I I '+V^3 



n^ 



n' \2r — I 



r-i l-\-\c<q 



Ora, poiché il valore di r fornito dalla (20) rimane inalte- 

 rato quando in essa si muti x in /. -\- vì'z (essendo z un numero 

 intero qualunque) , la stessa cosa dovrà avvenire nella (21). 

 Fatta una tale sostituzione, indi paragonati gli esponenti, si trae: 



_ zn"{n"'-\) 



Op (X + ^ W ) — 2J (X) = 



ossia 



D(p(x) ,, ^^^{^) ^^n" zìì"{'n" —\) 



'Zìi -\- —- ^ - -— ~ t~ • • • — ~. 



H 0x1.2 4 



Dividendo per z n indi ponendo z^=0 viene : 



n"^- 1 

 (f) (x) = X — 1- cost. 



Determinando poi la costante col procedimento stesso dato dal 

 Sohnke avremo : 



„"'_ 1 „"•_ 1 



Sostituendo adunque nella (20), verrà finalmente: 



(22)... ,^(_l) s yy,rf[[ } l.L-, 



Ecco il risultato a cui si giunge ; esso prova che quando « 

 é un numero impari qualunque, esiste l'equazione modulare e 

 di più ne fornisce le radici sviluppate in prodotto infinito. 



