288 GUIDO VALLE 



E queste radici si ottengono ponendo nella relazione- (18) al 



n' 



posto di q, q^ dove n' ed n'' sono due qualunque dei fattori in 



cui può decomporsi il numero n. Inoltre la (22) ci attesta che 

 le radici dell'equazione modulare si classificano in tanti gruppi 

 quante sono le coppie di fattori di n : laonde, se si suppone n 

 primo , allora poiché quelle coppie si riducono a due, e cioè : 

 1 . w ed w. 1, si vede che la (22) coinciderà in tal caso con quella 

 data da Sohnke. 



Accennerò, terminando, ad un esempio di equazioni modu- 

 lari pel caso in cui sia w=9. — Il grado di questa equazione 

 sarà 1 2 ; e se la si ordina secondo le potenze discendenti di v 

 e si determinano gli esponenti m,, m^, ... m^, di ?/ con le con- 

 dizioni (*) : 



m, + 9 . 1 1 = 1 2 (mod. 8) 

 „,^+9. 10 = 12 (mod. 8) 



avremo : 



«>" + « ?'" («^+ /3 j/) 4- ?<' -y'" («. + (5, !«") + w^^9 (a, + P, w*) + 

 + /33 w* i;" + Pft w V + jSg mS*^ + p6 «*^ «'^ + jS, wS"- + w v^ («8 + 

 + PgM«) + u' v^ («^+ p^ u') + li' V (a.„+ /3.„ u') + W' = 0. 



Ora, è noto che i coefficienti dei termini iC"vf ed w''?;'", come pure 

 quelli dei termini u"'v'' ed u'''"v''''' (dove t è il grado dell'equa- 

 zione) sono eguali e dello stesso segno, oppure di segno contrario, 

 secondochè l'ultimo termine è positivo o negativo. E parimenti 

 noto che per i(=ì è v:=±l ; nel caso nostro per i<=rl l'equa- 

 zione ha dieci radici eguali a +1 e due eguali a —1 ; laonde 

 sviluppando i binomi, indi eguagliando i cofficienti delle potenze 

 eguali avremo: 



v'^ _ 8 u 8" (2 u^- 1) + 2 u' r'" (5 + 8 m**) - 8 u^v'> (7 + 2 ?/) + 

 + 1 5mH''*+ iSu'vl- 84 ?^S''*+ 48 u''v'-\- 1 5 w^ì;^— 8uv\2 + 

 + 7 w*) + 2 M» V' (8 + 5 m") + 8 n' v {u^ - 2) + ?i" = 0. 



(*) Cfr. KÒNiSBERGBR, pag. 184. 



