SULLE TANGENTI TRIPLE, ECC. 313 



arbitrarie si tagliano in due soli punti non comuni a tutte le 

 superficie del sistema. Pertanto, se lo spazio S' generato dalle 

 superficie <!>' si riferisce proiettivamente ad uno spazio di piani S^ 

 tra i due spazi punteggiati S (spazio doppio) ed S' (spazio sem- 

 plice) verrà a stabilirsi una trasformazione doppia del terzo 

 ordine e genere due (d. P., l, 10) (*). Le degenerazioni possi- 

 bili della quartica e', considerata in relazione col sistema lineare 

 delle <!>', ci daranno poi altrettante trasformazioni doppie di una 

 medesima famiglia {**). 



2. Alle rette dello spazio doppio S corrispondono nello spa- 

 zio semplice S' le oo^ quintiche R\. (n. 1); ma in >S' vi è una 

 retta fondamentale p, a cui corrisponde in S' tutto il piano II', 

 per modo cioè che i punti della retta p danno le cubiche piane 

 p del fascio individuato dai cinque punti A' e dalla quartica 

 e (n. 1). Al fascio di piani, che ha per asse la retta p, cor- 

 risponde il fascio di quadriche avente per base la curva c'^; ad 

 ogni retta, che si appoggi in un punto alla p, corrisponde una 

 conica, la quale incontra la cubica p' corrispondente al mede- 

 simo in due punti variabili e la e in quattro punti variabili. — 

 Tutte le superficie <I>'3 che passano per un determinato punto di 

 una qualunque cubica p la contengono tutta, e formano una 



(*) la questa, come in qualunque altra trasformazione doppia del genere 2 

 data da superficie *'„ razionali, sussiste il fatto, che le condizioni imposte 

 alle *'' dai passaggi per gli elementi base del sistema lineare non sono tutte 

 indipendenti, ma una è conseguenza delle altre. VAò può dimostrarsi osser- 

 vando, che la stessa proprietà si verifica per tutte le reti di curve piane del 

 genere 2, che trasformano un piano semplice in un piano doppio. Vedi p. es. 

 Martinetti, Sopra una classe di sistemi lineari di curve piane algebriche, nei 

 Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, marzo 1887 (pag. 1). 



(**) Oltre questa, vi sono altre due famiglie ben distinte di trasformazioni 

 doppie del terz' ordine e genere due. Nell'una la base del sistema lineare 

 delle superficie ^^ è constituita (nel caso piii generale) da una retta e da una 

 conica non aventi alcun punto in comune, e da sei punti posti sopra una 

 superficie del second' ordine passante per la conica. Neil' altra le superficie 

 «l-'g hanno un punto doppio fisso, una retta fissa passante per il medesimo, 

 un'altra retta fissa arbitraria, e eette punti fissi giacenti con la prima 

 sopra una stessa quadrica. — Però le involuzioni che nascono da ciascuna 

 di queste due famiglie sono tutte conosciute, e appartengono alla classe di 

 quelle studiate recentemente dal Prof. D. Montes.^no nelle due iNote sopra le 

 trasformazioni involutorie dello spazio che determinano un complesso lineare 

 di rette (Rendiconti della R. Accad. dei Lincei, marzo 



