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e i due punti doppi iy(,), iTj,, (/=:!, 2, , 5), appartenenti 



ad uno stesso piano doppio a,, della superficie, saranno rappre- 

 sentati l'uno dall'intorno del punto fondamentale ?, l'altro dalki 

 retta i. Infine, la retta di contatto del piano «(,) con la su- 

 perficie sarà rappresentata dal complesso di tutte le direzioni 

 uscenti dal punto i e infinitamente prossime alla direzione Oi. 



Ora i punti 0, 1,2, , 9, possono anche riguardarsi come 



punti fondamentali della rappresentazione univoca , sullo stesso 

 piano P, di una certa superficie razionale del settimo ordine, 

 che chiameremo 0', dotata di una quartica di prima specie tripla 

 e' . Le sezioni piane di quest'altra superficie hanno per imagini 

 delle quintiche: 



e la quartica tripla una curva del nono ordine: 



0», 12, 2^. ..,9'^ 



^ 0M2 2^. ...9'^ ('^)' 



11 punto 9+?' infinitamente vicino al punto i sulla retta i 

 rappresenta un punto A!^^^ comune a due rette //(,, , ^■'(,) della 

 superficie O! : ed i cinque punti A! così determinati giacciono 

 nello stesso piano II', la cui sezione è rappresentata in Q^. 



Ciò posto, poiché il luogo formato da una qualunque delle 

 curve C' presa insieme con la curva fissa T'^ rappresenta l'in- 

 tersezione totale della superficie Q! con una certa superficie del 

 terz 'ordine passante per la quartica e' e pei punti A' , dovrà esi- 

 stere un sistema lineare co^ di superficie ^'g passanti per la 

 curva e ^ e pei punti A. Allora, considerando le due superficie 

 Q. ed 12' come appartenenti a due spazi distinti S ed 8' , e fa- 

 cendo corrispondere tra loro quei piani di /S' e quelle O'g di S\ 

 che tagliano rispettivamente Q ed 0' secondo linee aventi la 

 stessa rappresentazione su P, verremo a stabilire tra gli spazi 

 S ed S' una trasformazione doppia della specie considerata ai 

 numeri precedenti; e questa trasformazione avrà per superficie 

 doppia la Q! stessa, perchè esiste una sola superficie del settimo 

 ordine avente la e ^ per curva tripla e passante per le dieci 

 rette lì, k' {**). Inoltre, poiché ai piani di /S' passanti per uno 



(*) NÒTHER, loc, cit., pag 570. 

 (**) Se una data quartica di prima specie deve esser tripla per una super- 



