LE CORRISPONDENZE UNIVOCHE SULLE CT'RVE ELLITTICHE 471 



date proposizioni si sono poi estese alle funzioni abeliane ed alle 

 corrispondenze su curve di genere qualunque: citerò principal- 

 mente a questo riguardo due recenti lavori del sig. Hurwitz {*) 

 nei quali dalle espressioni dellle corrispondenze algebriche su una 

 curva di genere ^) mediante i ^) integi'ali finiti distesi su questa 

 si trae una distinzione di quelle corrispondenze in ordinarie (do- 

 tate di « Wcrthiglceit » ) — che hanno luogo qualunque siano i 

 valori dei moduli, — e singolari — che esistono solo in curve 

 di moduli singolari ; e per le due specie di corrispondenze , ed 

 in particolare per quelle univoche, vengono risolte alcune que- 

 stioni di somma importanza. 



Se si applicano i risultati menzionati al caso particolare delle 

 corrispondenze (■*^) univoche sulle curve ellittiche, si deduce tosto 

 che, mentre le corrispondenze ordinarie sono appunto quelle che 

 dicemmo esser rappresentate dalle relazioni (1) , quelle singolari 

 son tutte date {***) da: 



(2). 

 e 



(3). 



(*) Ueber algebraische Correspondemen und das verallgemeinerte Cor- 

 respondemprincìp (Sitz. Ber. d. k. sàchs, Ges. d. W. , Januar 1886; oppure 

 Math. Ann. XXVIII); e Ueber diejenigen algebraischen Gebilde , welclie ein- 

 deulige Transformationen in sich zulassen ( Gòtting. Nachrichten , Februar 

 1887; oppure Math. Ann. XXXIP. 



(**) D'or innanzi parlando di « corrispondenze » si sottintenderà sempre 

 « algebriche » e più tardi anche « univoche », 



(***) Quest'osserva/.ione si trova anche fatta , per incidenza , da F. Klein 

 (Math. Ann. XV, p. 279). — Del resto, la condizione perchè la corrispondenza 

 u' ^ av, (mod. w, w^) 



sia univoca è evidentemente questa: che moltiplicando un periodo per a, 



1 

 oppure per — , si abbia ancora un periodo. Dal primo fatto segue : 



^ awi^ww + mjWi 



ove m, Wj, «, nj sono interi; e dal secondo che, divise queste due equazioni 

 per a e risolte rispetto ad —, — (che così compariranno nei secondi mem- 

 bri) , queste dovranno risultare forme in w, wj a coefficienti interi, donde 



si trae: 



(5) mn^ — nm^ =: "+* 1 . 



