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ove a è una radice cubica imaginaria dell' unità ; si hanno risp. 

 le (2) e le (3) quando il rapporto dei periodi (per una scelta 

 conveniente di questi) è «', oppure a, il che significa in so- 

 stanza che la curva è risp. armonica, oppure equianarmonica. 

 Ora , quantunque siano già abbastanza numerosi gli scritti 

 geometrici in cui si sono , o semplicemente incontrate , od anche 

 studiate di proposito per via sintetica, le corrispondenze uni- 

 voche sulle curve ellittiche (^), pure tutti, se non erro, si li- 

 mitano alle corrispondenze ordinarie, e mostrano di non conoscere 

 la possibilità dell' esistenza delle corrispondenze singolari; sicché 

 talvolta i loro risultati esigerebbero delle modificazioni, quando 

 si dovessero applicare alle curve armoniche od equianarmoniche. (*^*) 



Eliminando o) ed '.), dalle (4) si avrà : 



(m — a (nj — a) — nw^rziO, 

 ossia 



(6) a- — (m -{-n^a± 1= ; 



Ora, se nelle (4) si tien conto del fatto che il rapporto dei periodi w, ojj è 

 necessariamente complesso, si vede che se a è reale dovrà essere 



{myZz.n^zQ , m -zz-n^ z=z) a ^ ± 1 , 



il che rientra nelle (1). Se poi a è complesso, in forza della (6) sarà: 



{m-i «,)2^4<0, 



il che esige anzitutto che valga il segno superiore e poi che sia : 



m + Wj rz ; oppure m-\-n^zz:^zi . 



IN'el primo caso la (6) darà: azzzdii; nel secondo invece: a^±a-{-i=:0 

 donde a:=±a, oppure a:=rt:a*, essendo a una radice cubica immaginaria 

 dell'unità. Si è così condotti alle corrispondenze (2) e (3\ 



(*) Oltre a quelli che si troveranno nominati in seguito, citerò le mie 

 Remarques sur les transformalions uniformes des courbes elliptiques en 

 elles-mèmes (Matb. Ann. XXVII, p. 29G) , in cui ne sono anche indicati al- 

 cuni altri. 



(**) Ad esempio asseriscono che non vi possono essere altre corrispon- 

 denze univoche sulle curve ellittiche che quelle ordinarie Harnack (Matb. 

 Ann. IX, p. 42 e 43 ; e Math. Ann. XII, p. 81j ed Em. Weyr nei suoi due 

 lavori Ueber eindeulige Besiehungen auf einer allgerneinen ehenen Curve 

 dritter Ordnung (Wien. Sitzb. 1883) e Ein Beitrag sur Gruppentheorie auf 

 dell Curven vom Geschlechie Eins (ibid.), il primo dei quali contiene il più 

 completo studio che finora si sia fatto delle corrispondenze univoche su una 

 cubica. Per determinarle tutte serve in esso di base il teorema (n. 2) che 

 una tal corrispouden/.a , proiettata da un punto qualunque della cubica, dà 

 nel fascio di rette proiettante una corrispondenza simmetrica. Ora questo 



