LE CORRISPONDENZE UNIVOCHE SULLE <URVE ELLITTICHE 473 



In conseguenza ho creduto di fare cosa non del tutto inutile 

 riprendendo qui da capo (*) lo studio geometrico delle corri- 

 spondenze univoche sulle curve ellittiche in modo da non esclu- 

 dere quelle singolari , ed anzi fermandomi particolarmente su 

 queste e sulle varie e notevoli relazioni che esse hanno fra loro 

 e con quelle ordinarie. Mi varrò a questo fine (almeno per 

 stabilire le proposizioni fondamentali) delle curve di 3^ ordine 

 (sottint. ellittiche); ma i risultati cosi ottenuti s'intenderanno 

 estesi senz' altro a curve ellittiche qualunque. 



1. La proposizione da cui partiremo e che può servire 

 utilmente di base ad una trattazione geometrica delle corrispon- 

 denze univoche fra cubiche piane ed in generale fra curve el- 

 littiche è la seguente: [**) 



Data fra due cubiche, distinte o sovrapposte, una corri- 

 spondenza univoca qualunque, alle coppie di piunti dell' una 

 allineate con un punto fissato ad arbitrio sovr'essa corrispon- 

 dono ncir altra delle coppie di punti allineate con uno sfesso 

 punto di cfiesta. 



teorema vale solo per le corrispondenze ordinarie ed esclude quelle singo- 

 lari. 11 ragionamento con cui vi giunge il sig. Weyr si basa sulla propo- 

 sizione che: se in una corrispondenza (2, 2) fra due forme razionali sem- 

 plici sovrapposte i quattro elementi di diramazione dell'una sono pure ele- 

 menti di diramazione dell'altra, la corrispondenza è simmetrica: proposi- 

 zione che non è completamente vera, poiché cade quando quella quaterna 

 di elementi di diramazione è armonica oppure equianarmonica (le due di- 

 verse dimostrazioni datene dallo stesso autore nella Nota Ueber einen Cor- 

 respondenzsatz del volume citato presentano entrambe una lacuna). — Del 

 resto, tutti i risultati di quel lavoro rimangono validi, purché s'intendano 

 limitati alle corrispondenze ordinarie. 



(*) Avverto espressamente che quasi tutte le proprietà delle corrispon- 

 denze univoche ordinarie che qui si troveranno (n' 5, 7 e 8) sono già con- 

 tenute in lavori precedenti e specialmente nel primo di quelli citati del 

 sig. Weyr. Ma esse si ottengono sì rapidamente, che ho creduto meglio, 

 anche per uniformità di metodo e di esposizione, di non sopprimerle. 



(**) Questa proposizione (dimostrata in modo diverso e meno generale) 

 non che le conseguenze che ne trarremo nei due n' successivi, si trovano 

 già nello Studio sull'omografia di seconda specie del sig. Castelnuovo (Atti 

 Ist. Veneto, t. V, ser. 6; cfr. n' 29 e seg.). Ma prima ancora esse erano 

 state da me esposte in pubbliche lezioni nell'anno 1886-87. Le ripeto qui , 

 sia per la ragione già addotta nella nota precedente, cioè per rendere l'espo- 

 sizione della ricerca più metodica, sia perchè nel lavoro del sig. Castelnuovo 

 non si considerano le corrispondenze univoche singolari. 



