LE CORRISPONDENZE UNIVOCHE SULLE CURVE ELLITTICHE 477 



coi punti 6' , c' , d' . Per ipotesi le quaterne di tangenti a a , 

 ab, ac , ad, e a'a' , ab' , a'c' , ad' sono projettive : suppon- 

 gasi che ciò accada in quest'ordine : 



(1) . . . a [ab cd)7\a' [a'b'c'd') , 



e che appunto si vogliano quelle collineazioni in cui b , b' ; e , e' ; 

 d , d' sono coppie di punti omologhi. Preso su y un nuovo punto 

 e , alla retta a e in quella projettività fra i due fasci di rette 

 a , a , e quindi anche in quelle collineazioni, corrisponderà una 

 determinata retta del fascio a , la quale segherà ancora y' in 

 due punti, ciascuno dei quali si potrà assumere come omologo 

 di e . Sia e Tuno qualunque di essi : allora la collineazione in 

 cui ai punti «, b, e, e corrispondono risp. a\ b', e', e' farà cor- 

 rispondere i due fasci di rette a , a' nella projettività suddetta 

 e quindi le rette aa , a d alle a'a , a'd' , il punto d della 

 retta bc a d' di b'c' , e la cubica y ad una cubica avente in 

 a' un flesso colla tangente a'a' , tangente in b' , e' , d' alle rette 

 a'b' , a'c' , a'd' , e passante inoltre per e' , vale a dire alla 

 cubica y' . (*) Dunque da ogni modo di ordinare b', e', d' sì da 

 soddisfare la (1) risultano (in causa dell'ambiguità nella scelta 

 di e') due corrispondenze univoche fra y e y' in cui a ed a sono 

 punti corrispondenti (ed a. b, e, d corrispondono b', e, d' appunto 

 in queUordine) {**). Risalendo ora all'ipotesi primitiva, in cui i 

 due punti dati come omologhi sulle due cubiche potevano anche 

 non essere flessi per queste , abbiamo la seguente proposizione : 

 Dati su due cubiche y , y', distinte o sovrapposte, due punti 

 qualunque a , a' , si costruiscano i loro tangenziali m , m^ e^ 



(*) Così risulta la nota proposizione che l'invariante assoluto della qua- 

 terna di tangenti condotte ad una cubica da un suo punto è l'unico inva- 

 riante assoluto di questa ; poiché se esso ha lo stesso valore per due cubiche 

 queste sono collineari. 



(**) Un ragionamento geometrico simile al precedente si può applicare 

 alle curve iperellittiche di genere p^-l, dopo di averle ridotte alla forma 

 normale dovuta al sig. Cremona (Rendic. Ist. Lomb. , 1869, p. 566). Si trova 

 così che : considerando due tali curve con le loro involuzioni razionali di 

 copjiie di punti ed i 2p + 2 punti doppi di queste, ogni projettività che 

 esista fra questi due gruppi di elementi di quelle involuzioni fa parte di due 

 corrispondenze univoche fra le curve. Del resto Io stesso fatto (e l'analogo 

 per p:=^i) risulta pure immediatamente dalla rappresentazione algebrica pa- 

 rametrica delle curve iperellittiche. 



