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i pmifi b , e , d di y e b' , e' , cV di y' i quali hanno risp. con 

 a e con a' quegli stessi tangenziali. Supposto allora che sia 



(2) . . . m{ahcd)7\m^{ab'c'd') , 



esisteranno due corrispondenze univoche perfettamente deterwi- 

 nate fra y e 7' in cui a, a' (e b, b' ; e, e' ; d, d') saranno punti 

 corrispondenti e che saranno projettate da m, m^ mediante due 

 fasci riferiti appunto in quella projettività. 



Perchè la relazione (2) continui a valere quando (senza fare 

 altri mutamenti) si faccia uno scambio d'ordine fra ?>, e, d bisogna 

 che sia ad esempio 



m [a b cd)7\m{ahdc) , cioè armonico , 

 oppure 



m {a hcd)Ts ni {a e d h) 7\ m {a dhc) , cioè equianarmonico. 



Dunque le curve ellittiche armoniche ed equianarmoniche ap- 

 paiono come singolari nella questione delle corrispondenze univoche : 

 dati su due ctirve ellittiche proiettive, distinte sovrapposte , 

 due punti qualunque come omologhi in corrispondenze univoche 

 fra le due curve, il numero delle corrispondenze così determi- 

 nate è % se le curve non sono singolari , 4 se sono armo- 

 niche, 6 se sono equianarmoniche. 



Vedremo che le 00^ corrispondenze univoche che così si ge- 

 nerano fra le due curve formano appunto, corrispondentemente a 

 quei numeri 2, 4, 6, altrettanti sistemi infiniti, sì che due punti 

 dati come omologhi individuano una corrispondenza di ciascun si- 

 stema. Per dimostrare ciò e in generale per lo studio di quei 

 sistemi di corrispondenze basterà che consideriamo il caso di due 

 curve sovrapposte, cioè delle corrispondenze su d'una curva: dai 

 nostri risultati si potrà subito, volendo, passare al caso generale 

 di due curve distinte. 



5. Un primo sistema infinito di corrispondenze univoche che 

 naturalmente si presenta su ogni cubica y è dato dalle projezioni 

 di y su se stessa dai suoi punti. 



Siccome le coppie di punti omologhi di una tal corrispon- 

 denza formano evidentemente una co^ razionale e d'altra parte 

 questa proprietà è caratteristica (v. la nota al n. 8) per queste 



