LE CORRISPONDENZE UNIVOCHE SULLE CURVE ELLITTICHE 479 



corrispondenze, noi le distingueremo col nome di razionali. È 

 chiaro che una corrispondenza di questo sistema è individuata da 

 une coppia di punti omologhi; che essa è sempre invohdoria e 

 che ha 4 punti uniti. 



L'ultima proprietà s'inverte subito: una corrispondenza con 

 4 punti uniti diversa daìV identità è sempre razionale. Sia in 

 fatti a un punto unito di una corrispondenza sulla cubica y ed 

 m il suo tangenziale: esso sarà (n. 2) un centro di projezione 

 omologo a se stesso per quella corrispondenza, sicché questa 

 progettata da esso darà nel fascio m di rette una projettività, la 

 quale oltre ad ma avrà per raggi uniti quelli che congiungono m 

 agli altri punti uniti della corrispondenza. Se dunque questa ha 

 4 punti uniti , quella projettività avrà almeno 3 raggi uniti di- 

 stinti e sarà quindi un' identità, sicché la corrispondenza su -y , 

 se non è l' identità , sarà data dalla projezione di centro m. 



6. Questa proposizione ci conduce a considerare nelle cor- 

 rispondenze univoche su una curva ellittica il numero dei punti 

 uniti : in questo numero si ha, come vedremo, un criterio di clas- 

 sificazione per quelle corrispondenze. 



Se e 2 sono due corrispondenze univoche qualunque , i 

 punti uniti della corrispondenza Q.l~^ sono i punti ciascuno dei 

 quali ha lo stesso omologo in Q. ed in ^ (e questi omologhi sono 

 i punti uniti di 2~^0). 



Applichiamo ciò anzitutto al caso in cui sia una corrispon- 

 denza univoca sulla cubica y con /.: (> 0) punti uniti e 2 sia la 

 projezione di y su se stessa da un suo punto m. Se da questo 

 si projetta si avrà nel fascio di rette di centro m una corri- 

 spondenza (2 , 2) con 4 raggi uniti , di cui k vanno ai punti 

 uniti di Ql, ed i rimanenti i — h sono le rette che tagliano y 

 secondo m e due punti omologhi in Q. Dunque le coppie di punti 

 omologhi comuni ad una corrispondenza univoca con k punti 

 uniti e ad una corrispondenza razionale sono 4 — k. E quindi : 

 se una corrispondenza univoca con k punti uniti si moltiplica 

 {in qualunque ordine) per una razionale (che non ne sia l'in- 

 versa) la corrispondenza univoca prodotto avrà 4:— \ punti uniti. 



7. Dai n' 5 e 6 segue immediatamente che il prodotto di 

 più corrispondenze univoche razionali, quando esse siano in numero 

 dispari, ha 4 punti uniti ed è quindi ancora una corrispondenza 



