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razionale. Invece se quelle corrispondenze sono in numero pari , 

 il loro prodotto sarà una corrispondenza univoca priva di punti 

 uniti, oppure sarà l'identità. 



Siamo così condotti ad un nuovo sistema di corrispondenze 

 univoche : quello composto dell'identità e delle corrispondenze prive 

 di punti uniti. Indicando con P una corrispondenza qualunque 

 di questo 2° sistema e con A una corrispondenza razionale qua- 

 lunque sarà anche AP = B una corrispondenza razionale (n. 6) (*), 

 e quindi la relazione P = AB prova che ogni corrispondenza 

 del 2° sistema è il prodotto di due corrispondenze razionali 

 (una delle quali si può prendere ad arbitrio). Da ciò si trae su- 

 bito, mediante le osservazioni fatte sui prodotti delle corrispon- 

 denze razionali, che: il prodotto di due o piii corrispondenze 

 prese nei due sistemi considerati è del V o del 2" sistema se- 

 condo che il numero delle corrispondenze del 1" sistema è impari 

 pari (sicché le corrispondenze del 2° sistema formano un gruppo). 



Dalla relazione P = AB segue poi: A PA = BA= P-\ 

 cioè: una corrispondenza del 2" sistema è trasformata nella 

 propria inversa da qualunque corrispondenza razionale. Ne ri- 

 sulta che, dati ad arbitrio due punti a, a di una cubica y come 

 omologhi in una corrispondenza del 2° sistema, e detto / un punto 

 mobile di 7, i punti h, h' in cui questa curva è ancor incontrata 

 risp. dalle rette al, al saranno pure omologhi in quella corri- 

 spondenza: questa è dunque ben determinata e costruita. 



Se poi si applicano simultaneamente le ultime proposizioni 

 segue che: una corrispondenza del 2° sistema è trasformata in 

 se stessa da qualunque corrispondenza dello stesso sistema. In 

 altri termini le corrispondenze del 2<* sistema sono fra loro per- 

 mutabili ; il prodotto di un numero qualunque di esse è una cor- 

 rispondenza dello stesso sistema che non dipende dall'ordine di 

 quel prodotto. — Considerando la potenza r-esima di una cor- 

 rispondenza del 2° sistema, si vede subito che se questa ammette 

 un ciclo di grado r, essa sarà ciclica dì grado r; da una pro- 

 posizione precedente di questo n° seguirebbero poi notevolissime 

 proprietà dei cicli di una tal corrispondenza (*^^). 



(*) In seguito si rappresenteranno sempre con A, B,. . . delle corrispon- 

 denze razionali, con P , Q ,. . . corrispondenze del secojido sistema, con Q. , 

 S,. . . corrispondenze univoche qualunque. 



(**) V. Weyb, 1. e. (U. e. Bez...), n. 19 e seg. 



