LE CORRISPONDENZE UNIVOCHE SULLE CURVE ELLITTICHE 481 



8, In particolare consideriamo le corrispondenze del 2" sistema 

 involutorie. Una tal corrispondenza è (n. 7) trasformata (nella 

 sua inversa, cioè) in se stessa da qualunque corrispondenza ra- 

 zionale. Indicando dunque con «, a due punti della cubica y omo- 

 loghi in quella corrispondenza ed applicando la projezionc dal tan- 

 genziale m di a si vede che , come a , così a deve avere per 

 projezione se stesso, cioè deve avere m per tangenziale. Viceversa 

 la corrispondenza del 2° sistema determinata da due punti omologhi 

 a, a aventi lo stesso tangenziale m, quando venga projettata da 

 m si trasforma evidentemente in se stessa; essa coincide dunque 

 con la propria inversa, ossia è involutoria. 



Si giunge così alle tre corrispondenze involutorie del 2° sistema 

 od involuzioni princijìaìi ; e si vede pure subito che il prodotto 

 di due qualunque di esse dà precisamente la terza; ecc. ecc. 



È poi facile dimostrare che, all'infuori di queste e delle cor- 

 rispondenze del 1° sistema, non vi possono essere altre corrispon- 

 denze involutorie (*). Invero se sulla cubica '/ esiste u)\a corri- 

 spondenza involutoria con un numero Z; > di punti uniti, la 

 si trasformi mediante una corrispondenza univoca (p. e, una pro- 

 jezione) in guisa che un flesso sia il trasformato di un punto unito: 

 la corrispondenza trasformata avrà ancora U punti uniti e sarà 

 ancora involutoria, ma avendo un flesso per punto unito sarà (n, 3) 

 collineare, e quindi data da un'omologia armonica. Ne segue che 

 /i" = 4, cioè che la corrispondenza primitiva era del 1° sistema. 



9. I due sistemi di corrispondenze considerati negli ultimi 

 n' si possono costruire su tutte indistintamente le curve ellittiche : 

 si diranno perciò corrisx)ondenze ordinarie. E poiché s' è visto 

 che due punti qualunque di una tal curva sono omologhi in una 

 corrispondenza di ciascuno di quei sistemi, segue dal n. 4 che 



{*) Ne segue che, se si fa astrazione dalle corrispondenze del primo si- 

 stema e dalle tre involuzioni principali , la serie cxd* delle coppie di punti 

 omologhi di ogni altra corrispondenza univoca è riferita univocamente alla 

 serie dei punti della curva (per es. alla seiie dei -primi punti delle dette 

 coppie) ed è quindi ellittica e con lo stesso modulo della curva. Ma anche 

 le tre involuzioni principali sono ellittiche (ciò risulta, ad es. , osservando 

 che per una cubica le rette congiungenti le coppie di una tal involuzione 

 formano un inviluppo di terza classe senza rette doppie). Quindi si conclude 

 che solo le corrispondenze del primo sistema sono razionali ; tutte le altre 

 corrispondenze univoche sono ellittiche- 



