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sulle curve non singolari non esistono altre corrispondenze uni- 

 voche. Invece nelle curve armoniche ed equianarmoniche esistono 

 altre corrispondenze, singolari^ che ora esamineremo. 



Esse hanno tutte dei punti uniti (n. 7), Detto a un punto 

 unito di una corrispondenza singolare O sulla cubica y e 6, e, 

 d i punti di questa aventi comune con a il tangenziale ni , dalla 

 corrispondenza Q risulterà nel fascio di rette di centro m una 

 projettività determinata ad esempio , se y è armonica da m [a 

 hcd)7\m{ahdc) , se è equianarmonica da m{a'bcd)l\m[acdh). 



Nel 1° caso oltre ad a sarà h punto unito della corrispon- 

 denza Q. ; la projettività del fascio m sarà un'involuzione e quindi 

 il quadrato di produrrà nel fascio m l'identità e non potendo 

 essere esso stesso l'identità, perchè Q. non può essere involutoria 

 (n. 8) , sarà invece la projezione di centro m. Dunque le cor- 

 rispondenze singolari sulle curve armoniche hanno due punti 

 uniti, coniugati in un' involuzione principale , e sono ciclicJie 

 di 4" grado, avendo per quadrato corrispondenze razionali. — 

 Il quadrato di una corrispondenza ha per punti uniti i punti 

 uniti e le coppie involutorie di questa. In particolare si vede 

 che avrà per unica coppia involutoria e d . Ogni corrispon- 

 denza singolare su una curva armonica ha una coppia invo- 

 lutoria che è coppia di punti . miiti per un'altra corrispon- 

 denza singolare avente lo stesso quadrato di quella. Ogni 

 corrispondenza razionale è il quadrato di 4 corrispondenze 

 singolari le quali sono a coppie inverse l'ima delValtra. Ecc., ecc. 



10. Consideriamo ora il caso della curva equianarmonica. La 

 proiettività determinata da nel fascio m sarà ciclica di 3° 

 grado ed avrà oltre ad ma un raggio unito che incontrerà an- 

 cora y in due punti distinti e , f , ì quali dovranno corrispon- 

 dersi fra loro in Q (ciascuno a se stesso, oppure all'altro). Quindi 

 Q^ determinerà nel fascio m l'identità e sarà perciò o l'identità 

 la proiezione di centro ììì ; sicché iì è ciclica di 3" oppure di 

 6° grado. Nel 1" caso Ù non potrebbe evidentemente scambiar 

 fra loro i punti e , f e però li avrà per punti uniti ; nel 2° caso 

 invece non potrebbe averli come punti uniti (che altrimenti essi 

 sarebbero pur tali per iì^). Dunque le corrispondenze singolari 

 sulle curve equianarmoniche sono cicliche di 3" oppure di 6° 

 grado ; nel V caso lianno 3 punti uniti ; nel 2" ne hanno 

 un solo, ma hanno inoltre una coppia involutoria. MoUipli- 



