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sarà individuata una corrispondenza dando sulla curva una coppia 

 di punti omologhi: così se nella corrispondenza OP ad a deve 

 corrispondere «', chiamando a^ l'omologo di a in 0, si dovrà 

 prendere P in guisa che muti a, in a' , il che la individua. Se 

 poi si moltiplica in ogni ordine una qualunque corrispondenza 

 singolare di uno fra quei due sistemi per una corrispondenza 

 ordinaria si ottiene evidentemente una corrispondenza singolare 

 dell'altro sistema oppure dello stesso sistema secondo che quella 

 corrispondenza ordinaria è razionale o no: così ÙP . A = iìA, , 

 P, Qiì=.P^Q , ecc. Questo prova che nello stesso modo con cui 

 quei due sistemi di corrispondenze singolari si sono ottenuti par- 

 tendo da , essi medesimi si otterrebbero partendo da un'altra 

 corrispondenza qualunque presa in essi. 



12. Consideriamo anzitutto il caso in cui la curva è armo- 

 nica: allora su essa non esisteranno altre corrispondenze singo- 

 lari (n. 4). Si avrà, indicando con U , V delle corrispondenze 

 ordinarie (di cui , 1 , 2 razionali) e valendosi dell'osservazione 

 premessa al n.° prec. : 



QU.QV=Q.UQ.V=Q.ÙU^.V=AU^V; 



donde si trae che : il prodotto di due corrispondenze singolari 

 su una curva armonica è una corrispondenza ordinaria , la 

 quale è razionale se quelle due corrispondenze singolari appar- 

 tengono allo stesso sistema, ellittica in caso contrario In par- 

 ticolare due corrispondenze singolari inverse [cioè cubi) Vuna 

 dell" altra appartengono a sistemi diversi ; vale a dire / due 

 sistemi di corrispondenze singolari sulle curve armoniche sono 

 rtino inverso delValtro. 



Applicando poi un'osservazione fatta al principio del n. 6 

 in un cogli ultimi risultati sui prodotti delle corrispondenze ab- 

 biamo che: come due corrispondenze ordinarie, così due cor- 

 rispondenze singolari di diverso sistema hanno 4 coppie comuni 

 di punti omologhi^ mentre una corrispondenza ordinaria ed una 

 singolare hanno solo 2 coppie comuni (e, com'è naturale, due 

 corrispondenze dello stesso sistema non ne hanno alcuna). 



13. Nel caso in cui la curva è equianarmonica , indicando 

 ancora con Q una corrispondenza singolare fissata ad arbitrio , 



