LE CORRISPONDENZE UNIVOCHE SULLE CURVE ELLITTICHE 485 



anche Qr sarà una corrispondenza singolare, ed analogamente ai 

 due sistemi di corrispondenze singolari Q P , iìA considerati al 

 n. 11 vi saranno due sistemi di corrispondenze singolari Q^P, 

 LìrA, nettamente distinti fra loro ed anche dai precedenti (poiché 

 se fosse i2^ f/=0 F ne seguirebbe Q.U=V, assurdo). Dunque 

 ìc corrispondenze singolari sulla curva equianarmonica formano 

 4 sistemi distinti, in ognuno dei quali resta individuata una 

 corrispondenza dando una coppia di punti omologhi (*). 



(*) Dal fatto che per ognuno dei sistemi infiniti di corrispondenze sopra 

 una curva ellittica s'individua una corrispondenza dandone una coppia di 

 punti omologhi , segue subito che ciascuno dei detti sistemi di corrispon- 

 denze è una oo* ellittica avente lo stesso modulo che la curva. 



Queste corrispondenze si possono rappresentare geometricamente con le 

 rigate delle rette congiungenti le coppie di punti omologhi (inviluppi di 

 rette se la curva è piana); ogni corrispondenza insieme con la sua inversa 

 vien rappresentata da una stessa rigata. Si hanno così, a seconda che la curva 

 non è singolare od è armonica od equianarmonica , 2, 3, 4 sistemi oo' di 

 rigate, e le proprietà viste o che ancora vedremo delle corrispondenze si 

 tradurrebbero subito in proprietà di queste rigate (ad es. l'ordine di queste 

 si determina subito servendosi del numero di punti uniti delle corrispon- 

 denze). 



Un'altra rappresentazione geometrica delle corrispondenze su una curva 

 ellittica V si ha se si rappresentano le coppie di punti di questa coi punti 

 di una superficie. Dalle mie ricerche sulle rigate ellittiche (Atti R. Accad. di 

 Torino, XXI; ed anche Matb. Ann. XXXIV) risulta un modo assai semplice 

 di fare una tal rappresentazione , poiché esse mostrano che su una rigata 

 ellittica, le cui generatrici corrispondano univocamente a y, si può determi- 

 nare in infiniti modi un sistema cxd' di curve le quali taglino una volta 

 sola ogni generatrice e sian tali che due qualunque di esse s'incontrino 

 in un sol punto (variabile), e che per ogni punto della rigata ne passino 

 due: questa oo' di curve si potrà mettere in corrispondenza univoca con ■/ 

 ed ogni coppia di punti di questa (senza riguardo all'ordine dei due punti) 

 si potrà rappresentare col punto d'intersezione delle due curve della rigata 

 le quali corrispondono a quei due punti; ed è chiaro che la rappiesenta- 

 zione che così si avrà delle coppie di punti di -/ sui punti della rigata sarà 

 univoca. Se la rigata è d'ordine n impari essa ha in generale per curve 



w + 1 

 direttrici d'ordine minimo una oo' di curve d' ordine — ^^~- che possono 



servire allo scopo detto. Allora le altre curve tracciate sulla rigata servono 

 a rappresentare le varie corrispondenze fra i punti di •/. Le generatrici 

 della rigata rappresentano le corrispondenze univoche razionali. Ogni alti'a 

 corrispondenza univoca con h punti uniti è rappresentata (insieme con 

 l'inversa) da una curva incontrante ogni generatrice in (4 — h) punti ed 

 ognuna delle dette direttrici in 2 punti , curva che sarà perciò d'ordine 



