LE CORRISPONDENZE UNIVOflTE r^T'LLE CVHX'E ELLITTICHE 487 



nel caso contrario è una corrispondenza singolare di 0° grado 

 del sistema inverso a quello in cui sfa il fattore di 6" grado. 

 Infine aggiungiamo che (cfr. n, 11): ìììoltiplicando in qualunque 

 ordine una corrispondenza ordinaria ellittica per una corri- 

 spondenza singolare, questa non muta sistema, mentre di due 

 corrispondenze singolari, di cui l'una sia il prodotto delV altra 

 per tma corrispondenza razionale, l'una sarà ciclica di 6" grado, 

 e Valtra di 3° del sistema inverso a quello del quadrato di 

 quella. 



Come si fece al n. preced. per le curve armoniche, così dalle 

 ultime proposizioni deduciamo per le curve equiauarmoniche che: 

 due corrispondenze singolari di grado diverso hanno 1 sola 

 coppia di punti omologhi a comune ovvero 4 secondo che il 

 sistema cui appartiene quella di 3" grado è oppure non è il 

 quadrato di quello che contiene la corrispondenza di 6° grado ; 

 invece due corrispondenze singolari dello stesso grado ma di 

 diversi sistemi hanno 3 coppie comuni: una corrispondenza 

 singolare di 3° [o risp. di 6°) grado ha comuni 1 oppure 3 

 (3 oppure 1) coppie con una corrispondenza ordinaria secondo 

 che questa è razionale od ellittica {*). 



(*) 1 2,4,6 sistemi infiniti di corrispondenze che abbiamo trovato risp, 

 nelle curve non singolari, nelle armoniche ed in quelle equianarmoniche 

 formano un gruppo di cui si potrebbero subito avere altre proprietà da quelle 

 che già ne conosciamo; per esempio, si determinano subito dei sottogruppi, 

 infiniti e finiti, in esso contenuti. 



In particolare, se si considera una curva ellittica normale d'ordine n, è 

 notevole quel sottogruppo finito che si compone delle trasformazioni colli- 

 neari della curva in se stessa. In ognuno dei sistemi di corrispondenze uni- 

 voche sulla curva vi sono n^ collineazioni ; esse sono (v. la seconda nota 

 al n. 3) quelle corrispondenze del sistema che ad uno, fissato ad arbitrio^ 

 fra gli n* punti singolari della curva fanno corrispondere rispettivamente 

 gli v} punti stessi. Adunque, secondo che la curva non è singolare, od è ar- 

 monica, od equianarmonica , essa ammette un gruppo di 2n^, 4n', 6n.* tra- 

 sformazioni collineari in se stessa. Dalle proprietà sopra esposte dei vari 

 sistemi di corrispondenze si hanno come casi particolari varie proprietà di 

 quel gruppo relative alla sua composizione, ai sottogruppi in esso conte- 

 nuti , ecc. 



Nel caso di n=r3 , cioè delle cubiche ellittiche^ si può anche approfit- 

 tare dei risultati precedenti per lo studio delle trasformazioni collineari in 

 se stesso di un fascio sizigetico di cubiche, ossia della configurazione dei 9 

 flessi di una cubica. Tra quelle collineazioni , 18, ben note, son quelle che 

 trasformano ogni cubica del fascio in se stessa (determinandovi altrettante 



