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14. Nei 11.' preced.' si potè osservare che su qualunque curva 

 ellittica il prodotto di due corrispondenze prese in due dati si- 

 stemi (distinti no) è pure una corrispondenza di un determi- 

 nato sistema che non muta se si camhia l'ordine di quel prodotto. (*) 



Ciò posto ed indicando con O , O^ , 2 , 2^ delle corrispon- 

 denze qualunque, supponiamo che sia 



(1) 2Q = a,2j . 



Eappresentando i due membri con IT , sarà: 



Se dunque ed Q^ sono dello stesso sistema (e quindi anche le 

 loro inverse), segue dairosservazione ricordata che anche 2 e 2 j 

 saranno dello stesso sistema. 



con-ispondenze ordinarie, di cui 9 razionali prodotte da omologie armoniche 

 coi flessi per centri). Le altre invece scambiano fra loro le cubiche del fascio. 

 E poiché in questo le cubiche non singolari si raggruppano , come è ncto , 

 per gruppi di 12 tutte projettive fra loro ed ognuna delle 18 coUineazioni 

 che mutano una di esse in un'altra muta il fascio in se stesso, così saranno 

 11 . 18 le coUineazioni che godono di questa proprietà senza mutare in se 

 stessa ogni cubica. Ma per veder meglio la natura di quelle trasformazioni 

 conviene ottenerle in altro modo. Una collineazione che scambi fra loro le 

 cubiche del fascio deve mutare in se stessa la quaterna dei triangoli sizige- 

 tici. Questa quaterna di elementi del fascio è, come si sa, equianarmonica ; 

 Oltre alle tre involuzioni che la mutano in se stessa e che hanno per coppie 

 di elementi doppi le 3 coppie di cubiche armoniche del fascio, essa ammette 

 dunque 4 projettività cicliche di 3" grado (con le loro inverse), ciascuna 

 delle quali ha per elementi uniti un elemento della quaterna ed una delle 

 4 curve equianarmoniche del fascio. Da tutto ciò segue che le coUineazioni 

 cercate o trasformano in se stessa ogni curva armonica di una coppia de- 

 terminandovi una corrispondenza collineare singolare — e queste sono 2 . 9 

 per ognuna delle 3 coppie di curve armoniche — ; oppure trasformano in se 

 stessa una curva equianarmonica determinandovi una corrispondenza colli- 

 neare singolare — e queste sono 4 . 9 per ognuna delle 4 curve equianar- 

 moniche. In tutto dunque ritroviamo appunto le 11 , 18 coUineazioni di prima. 

 Il gruppo di 12 . 18 coUineazioni piane che mutano in se stessa la configu- 

 razione dei 9 flessi appare subito notevolissimo, e da cose note e da tutte 

 le cose dette risulta subito non solo quante e quali fra queste coUineazioni 

 siano cicliche di 2°, 3", 4° e 6° grado , ma anche quali prodotti esse diano 

 fra loro, ecc. ecc. 



(*) Questo si potrebbe esprimere brevemente dicendo che i 2 , 4 o 6 

 .sistemi di corrispondenze univoche sono fra loro permutabili (quantunque 

 Qon siano sempre permutabili le singole corrispondenze). 



