LE CORRISPONDENZE UNIVOCHE SULLE CURVE ELLITTICHE 489 



La (1) si può anche scrivere così: 



(2) n-^iù = i,. 



Se in particolare si prende Q^ = Q , questa ci dice che 

 qualunque corrisjyondenza non muta sistema quando la si tra- 

 sformi mediante una corrispondenza qualsiasi (fatto già os- 

 servato ed adoperato al n. 11 pel caso di una corrispondenza 1 

 ordinaria). Ma anche la (2) in tutta la sua generalità si può 

 interpretare in modo simile, osservando che, se a , a' sono due 

 punti corrispondenti in Z ed a^, a" ì punti che a quei due risp. 

 corrispondono in 0^ , , saranno appunto a^ , a" corrispondenti 

 in-Qj"' 1 £2 , cosicché è naturale chiamare quest'ultima corrispon- 

 denza « la trasformata di 2 mediante la combinazione di £ì^ ed 

 Q. » (che se Qj coincide con si riduce alla trasformata di 2 

 mediante Q). Allora la (2) dice che quando mediante la combina- 

 zione due corrispondenze di uno stesso sistema si trasformi una 

 corrispondenza qualunque^ questa rimarrà nel prox^rio sistema. 



15. Quando una corrispondenza trasforma l'una nell'altra due 

 corrispondenze 2 , 2^ , essa muta ogni punto unito di 2 in un 

 punto unito di 2j . Viceversa, date due corrispondenze 2, 2^ delj.o 

 stesso sistema, ogni corrispondenza che muti un punto unito di 2 

 in un punto unito di 2^ muterà 2 nella sola corrispondenza 

 dello stesso sistema (n. 14) che abbia quest'ultimo punto per 

 punto unito, cioè in 2^ . Ne segue che due corrispondenze qua- 

 lunque di uno stesso sistema con k ( > ) punti uniti son 

 'trasformate l'una nelValtra {in un dato ordine) da k corri- 

 spondenze di ciascun sistema. 



In particolare prendendo 2 e 2j coincidenti : Una corri- 

 spondenza qualunque con k ( >> 0) punti uniti è trasformata in 

 se stessa da {vale a dire è permutabile con) k corrispondenze 

 di ciascun sistema, cioè quelle determinate dal far corrispondere 

 risp, i k punti nominati ad uno di essi fissato ad arbitrio. 



Queste proposizioni si son dimostrate per corrispondenze 2 , 

 2j dotate di punti uniti: però esse valgono pure in generale nel- 

 l'ipotesi contraria, cioè se quelle corrispondenze sono corrispon- 

 denze ordinarie ellittiche. Poiché in tal caso ogni corrispondenza 

 di questo stesso sistema muta 2 in 2 stessa ; ogni corrispondenza 

 razionale muta 2 in 2~'; infine se una corrispondenza singolare 



