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Q muta 1 in 1^, ogni altra corrispondenza singolare dello stesso 

 sistema, essendo il prodotto di e di una corrispondenza ordi- 

 naria ellittica (la quale ultima non altera 1^), muterà pure 2Ì 

 in 2j . Dunque due corrisiìondenzc ordinarie eììittiche son tra- 

 sformate Vnna neìVaìtra da ognuna delle corrispondenze di un 

 dato sistema, opimre da nessuna (*). 



In particolare una corrispondenza ordinaria ellittica permu- 

 tabile con un'altra corrispondenza è permutabile con ogni corri- 

 spondenza appartenente al sistema di questa. Ora se una corri- 

 spondenza singolare è trasformata in se stessa da una corrispondenza 

 ordinaria ellittica, poiché questa deve mutarne i punti uniti in 

 punti uniti, accadrà che se vi è un sol punto unito quella cor- 

 rispondenza ordinaria non potrà esistere (astrazion fatta, anche 

 pel seguito, dall'identità), se ve ne sono 2 sarà involutoria, se 

 ve ne sono 3 sarà ciclica di 3" grado. Concludiamo dunque che : 

 Nelle curve armoniche esiste una sola corrispondenza ordinaria 

 ellittica la quale sia permutahile ad una corrispondenza sin- 

 golare : essa è un'involuzione principale, permutahile a qua- 

 lunque corrispondenza [^^) ed in cui sono coniugati i punti uniti 

 di ogni corrispondenza singolare. Nelle curve equianarmoniclie 

 non esistono altre corrispondenze ordinarie ellittiche permutabili 

 a -corrispondenze singolari che due corrispondenze cicliche di 3" 

 grado inverse l'una delValtra e permutabili a tutte le corri- 

 spondenze singolari cicliche di d° grado {e non a quelle di 

 6" grado) : le terne di punti imiti di queste formano i cicli di 

 quelle. 



16. Le relazioni studiate fra le varie corrispondenze si rife- 

 riscono alla geometria sulle curve ellittiche , qualunque queste 



(*) In altri termini nel sistema e»' delle corrispondenze ordinarie ellit- 

 tiche ciascuno degli altri sistemi genera una corrispondenza ben determi- 

 nata fra le corrispondenze stesse. È chiaro che gli elementi uniti di questa 

 saranno le corrispondenze ordinarie ellittiche (fra cui l'identità) permutabili 

 alle corrispondenze dell'altro sistema nominato. Se questo è singolare, sarà 

 singolare la corrispondenza da lui determinata fra le corrispondenze ordi- 

 narie ellittiche. 



(**) I quattro sistemi di corrispondenze sulla curva armonica generano 

 dunque quattro sistemi di corrispondenze fra le coppie di questa particolare 

 involuzione: se ne trae che la forma ellittica costituita da quelle oo' coppie 

 è anch'essa armonica. 



