LE COBKISPONDENZE UNIVOCHE SULLE CURVE ELLITTICHE 491 



siano ; ma applicate a curve ellittiche particolari possono fornire 

 risultati notevoli d'altra natura. Come esempio vediamone un'ap- 

 plicazione alle cubiche. 



Sulla cubica y si abbiano due corrispondenze qualunque di 

 uno stesso sistema, H^ e 2.,; siano «, «j due punti qualunque 

 omologhi in 2^ , e sia 1.^ la trasformata di Z., mediante combi- 

 nazione (n. 14) delle due projezioni di centri «, f/j , sicché prò - 

 jettando risp. da a, a^ due serie di punti corrispondentisi in 2., 

 si abbiano due serie di punti corrispondentisi in 1^-. in forza del 

 n. 14 sarà Z, dello stesso sistema di 2., e quindi anche di 1^. 

 Dicendo h,b^ due punti omologhi qualunque di 1^, e e, c^ risp. 

 le loro proiezioni da a, a^ , le quali saranno due punti omologhi 

 qualunque di Z, , è chiaro che, in causa ancora del numero citato 

 (e poiché l'unica corrispondenza del sistema di 2., e 1^ in cui siano 

 omologhi a, a^ è 1^, 1^ sarà la trasformata di l^ mediante com- 

 binazione delle projezioni di centri h, &, ed anche la trasformata 

 di 1^ mediante combinazione delle projezioni di centri e, c.y Ne 

 segue subito che il legame fra D^ e 2^ , 1.-, non dipende dalla 

 coppia a, «j di punti omologhi in 2^ con cui prima fu definito. 

 Date su ima cubica due corrispondenze quahinque di uno sfesso 

 sistema ne resta individuata una terza delio stesso sistema 

 sì che due qualunque delie tre si trasformano l'una nelValtra 

 mediante combinazione delle projezioni aventi i centri in due punti 

 omologhi qualunque della rimanente {*). 



(*) Se di due punti qualunque a, b della cubica si prendono gli omo- 

 loghi «1, &2 rispettivamente in due corrispondenze di uno stesso sistema, le 

 rette a6, a^&j incontreranno ancora la curva rispettivamente in due punti 

 e, C3 che saranno omologhi in una corrispondenza dello stesso sistema delle 

 due date e pienamente determinata da queste. — Se di tre punti a, b, e in linea 

 retta si chiamano o,-, è,-, c^ gli omologhi in 1- e le tre corrispondenze 

 "li ^21 ^3 sono nelle relazioni suddette, saranno in linea retta le sei terne 

 di punti a, bf c,,^ dove i l m indichi ogni permutazione di 1, 2, 3. 



Aggiungiamo che il ragionamento fatto per una cubica si estende subito 

 ad ottenere la proposizione seguente : Su una curva ellittica normale d'or- 

 dine n, date n — 1 corrisponderne di uno stesso sistema ne resta individuata 

 in questo una n-esima, sì che presi ad arbitrio sulla curva n — 2 punti ed i 

 loro omologhi risp. in n — 2 fra quelle n corrispondenze, le rimanenti due 

 si trasformano l'una nell'altra mediante combinazione delle proiezioni dai 

 due spazi 'S>^_^ congiungenti rispettivamente quei due gruppi di n — 2 punti. 



