Über 
die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine 
Primzahl ist. 
“Von 
H” KUMMER. 
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[Gelesen in der Akademie der Wissenschaften am 18. Februar 1858 und am 5. Mai 1859.] 
D. Reeiprocitätsgesetze, welche unter den Resten und Nichtresten der 
Potenzen Statt haben, bilden gewissermaafsen den Schlufsstein der Lehre 
von den Potenzresten und eröffnen zugleich den Weg für weitere und tiefer 
liegende arithmetische Untersuchungen. Sie sind in diesen beiden Beziehun- 
gen für die Zahlentheorie von grofser Wichtigkeit, aber eine noch höhere 
Bedeutung haben sie in der geschichtlichen Entwickelung dieser mathemati- 
schen Disciplin dadurch erlangt, dafs die Beweise derselben, so weit sie 
überhaupt gefunden sind, fast durchgängig aus neuen, bis dahin noch uner- 
forschten Gebieten haben geschöpft werden müssen, welche so der Wissen- 
schaft aufgeschlossen worden sind. Wegen dieser Schwierigkeit der Beweise 
ist man in der Erkenntnifs der Reciprocitätsgesetze bisher nicht viel über 
die quadratischen, kubischen und biquadratischen hinausgekommen, obgleich 
mehrere der ausgezeichnetsten Mathematiker der neueren Zeit sie zum Ge- 
genstande ihrer Forschungen gemacht haben. 
Euler hat das Verdienst, das Reciprocitätsgesetz für quadratische 
Reste zuerst bemerkt zu haben, m. s. dessen Commentationes arithmeticae 
collectae Bd. 1, pg. 486, aber man kennt keinen Versuch, den er gemacht 
hätte dasselbe zu beweisen. Hierauf hat Legendre, von Euler unab- 
hängig, dieses Gesetz ebenfalls gefunden, und weil er dessen grofse Wichtig- 
keit erkannte, einen sehr sinnreichen Beweis desselben aufgestellt, welcher 
nur in so fern unvollständig ist, als er voraussetzt, dafs zu einer jeden Prim- 
zahl von der Form 4n-+1 eine Primzahl der Form 4n-++3 gefunden werden 
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