320 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
kann, in Beziehung auf welche jene quadratischer Nichtrest ist, welches 
Postulat leicht von dem allgemeineren Satze abhängig gemacht wird, dafs jede 
arithmetische Reihe, in welcher nicht alle Glieder einen gemeinschaftlichen 
Faktor haben, nothwendig Primzahlen enthalten mufs. Um diesen Mangel 
des Legendreschen Beweises zu heben, hat später Hr. Dirichlet diese 
Eigenschaft der arithmetischen Reihen streng bewiesen, und zwar durch die 
neuen, überaus fruchtbaren Methoden, durch deren Hülfe er auch die 
Klassenanzahl der quadratischen Formen gefunden hat. Diese berühmten 
Arbeiten des Hrn. Dirichlet können daher als solche betrachtet werden, 
welche der Beschäftigung mit den Reciprocitätsgesetzen ihre Entstehung 
verdanken. 
Den ersten vollständigen und strengen Beweis des quadratischen Reci- 
procitätsgesetzes hat Gau fs in seinen Disquisitiones arithmeticae pg. 124, sq. 
gegeben, indem er gezeigt hat, dafs, wenn dieses Gesetz für alle Primzahlen 
bis zu einer bestimmten Gränze hin richtig ist, dasselbe auch richtig bleibt, 
wenn diese Gränze so weit erweitert wird, dafs sie eine Primzahl mehr um- 
fafst, woraus nach dem bekannten Schlusse der Induktionsbeweise die All- 
gemeingültigkeit desselben folgt. Dieser Beweis, welcher vor allen übrigen 
sich dadurch auszeichnet, dafs er keine, dem Gebiete der Congruenzen 
zweiten Grades fremden Hülfsmittel braucht, ist später von Hrn. Dirichlet 
in einfacherer Weise dargestellt worden in Crelle’s Journal, Bd. 47, pg. 139. 
Der zweite Beweis des theorema fundamentale, wie Gaufs dieses 
Reciprocitätsgesetz der quadratischen Reste bezeichnet, findet sich ebenfalls 
in den Disquisitiones arithmeticae, pg- 414, sq., wo er aus der Theorie der 
quadratischen Formen abgeleitet wird. Die Grundgedanken desselben werde 
ich weiter unten genauer zu entwickeln Gelegenheit nehmen, da es diejenigen 
sind, welche ich für den ersten Beweis des allgemeinen Reciprocitätsgesetzes 
in Anwendung gebracht habe, den ich in der gegenwärtigen Abhandlung 
geben will. 
Aufser den beiden, in den Disquisitiones arithmeticae enthaltenen 
Beweisen hat Gaufs später noch vier verschiedene Beweise desselben Satzes 
in den Commentarien der Göttinger Akademie gegeben. Zwei von diesen, 
nämlich der als dritter und der als fünfter von Gaufs bezeichnete, sind bei- 
nahe eben so elementar, als der erste Beweis, da sie nur in so fern das Ge- 
biet der Congruenzen zweiten Grades verlassen, als ein Satz über die reinen 
