und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 2 
Congruenzen höherer Grade hinzugezogen wird. Beide Beweise stützen 
sich auch auf einen und denselben, nicht schwer zu beweisenden Satz, welcher 
in der Abzählung der kleinsten positiven Reste einer arithmetischen Reihe, 
die gröfser als die Hälfte des Moduls sind, ein Kriterium dafür giebt, ob eine 
gegebene Zahl quadratischer Rest oder Nichtrest dieses Moduls ist. Der 
Unterschied derselben liegt hauptsächlich nur in der Art der Abzählung 
dieser Reste, welche in dem einen Beweise für sich selbst betrachtet, in 
dem anderen aber durch die gröfsten Ganzen ausgedrückt werden, welche 
in gewissen gebrochenen Zahlen enthalten sind. Als eine Modification die- 
ser Gaufsischen Beweise ist auch derjenige anzusehen, welchen Eisenstein 
in Crelle’s Journal, Bd. 28, pg. 246, gegeben hat. Dieser Beweis unter- 
scheidet sich nämlich von dem dritten Gaufsischen nur darin, dafs geome- 
trische Anschauungen zu Hülfe genommen, und die in den Brüchen enthal- 
tenen gröfsten Ganzen durch die Anzahl der in bestimmten Gränzen liegen- 
den Gitterpunkte eines Netzes dargestellt werden. 
Die anderen beiden Gaufsischen Beweise haben ihre Quelle in der 
Theorie der Kreistheilung. Diese zeigt, wie die Quadratwurzel einer jeden 
gegebenen Zahl durch Wurzeln der Einheit in ganzer rationaler Form dar- 
gestellt werden kann, wobei nur der eine Punkt upentschieden bleibt: ob 
diese Darstellung den Werth der Quadratwurzel mit dem positiven oder mit 
dem negativen Vorzeichen giebt. Die Bestimmung dieses Vorzeichens ist 
der hauptsächlichste Gegenstand der Gaufsischen Abhandlung, welche den 
vierten Beweis des quadratischen Reeciprocitätsgesetzes enthält, und den Titel 
‚Summatio quarundam serierum singularium führt. Dieselbe, sowohl durch 
die Einfachheit des für Primzahlen und für zusammengesetzte Zahlen 
gleichmäfsig geltenden Resultats, als auch durch die Schwierigkeit des Be- 
weises interessante Vorzeichenbestimmung, nebst dem darauf gegründeten 
Beweise des Reciprocitätsgesetzes, ist später von Hrn. Dirichlet, in einer 
vor der Akademie im Jahre 1835 vorgetragenen Abhandlung, nach einer 
anderen Methode, mit Anwendung bestimmter Integrale, ausgeführt worden. 
Der sechste Gaufsische Beweis, welcher auch auf der Kreistheilung 
beruht, uud zwar auf demselben Ausdrucke der Quadratwurzel aus p durch 
pte Wurzeln der Einheit, unterscheidet sich wesentlich dadurch von dem 
anderen, dafs er die Bestimmung des Vorzeichens der Quadratwurzel nicht 
erfordert. Der eigentliche Kern dieses Beweises wird bei Gaufs dadurch 
